как изменилась бы первая космическая скорость если бы масса планеты увеличилась в 9 раз

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно развить объекту на поверхности планеты, чтобы преодолеть её гравитационное поле и уйти в космос, не учитывая сопротивление атмосферы. Для планеты эта скорость зависит от её массы и радиуса. Формула для расчета первой космической скорости выглядит следующим образом:

$$v_1=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

где:

• $v_1$ — первая космическая скорость,

• $G$ — гравитационная постоянная ($G\approx 6.67430\times 10^{-11}{\text{м}}^3{\text{кг}}^{-1}{\text{с}}^{-2}$),

• $M$ — масса планеты,

• $R$ — радиус планеты.

Влияние увеличения массы планеты в 9 раз

Предположим, что масса планеты увеличилась в 9 раз, и необходимо рассчитать, как изменится первая космическая скорость.

1. Масса планеты увеличивается в 9 раз:
   Если масса планеты увеличится в 9 раз, то новая масса будет равна $M^{\prime }=9M$, где $M$ — исходная масса планеты.

2. Как это повлияет на первую космическую скорость:
   Из формулы для первой космической скорости видно, что скорость зависит от массы планеты, а именно от квадратного корня из массы. То есть, если масса планеты увеличится в 9 раз, то:

   $$v_1^{\prime }=\sqrt{\frac{2G\cdot 9M}{R}}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{\frac{2GM}{R}}=3\cdot v_1$$

   Таким образом, первая космическая скорость увеличится в 3 раза.

Влияние радиуса планеты

Этот расчет предполагает, что радиус планеты $R$ остается неизменным. Если же радиус планеты изменится, например, если планета станет более плотной, то это также повлияет на первую космическую скорость, поскольку скорость зависит не только от массы, но и от радиуса (через его влияние на расстояние от центра планеты до точки, с которой объект будет уходить).

Если радиус тоже увеличится, например, пропорционально массе (то есть $R^{\prime }=kR$, где $k$ — некий коэффициент), то в этом случае новая первая космическая скорость $v_1^{\prime }$ будет рассчитываться с учётом этого изменения:

$$v_1^{\prime }=\sqrt{\frac{2G\cdot 9M}{kR}}$$

Если радиус увеличится также в 3 раза ($k=3$), то первая космическая скорость увеличится на $3$, как в случае без изменения радиуса.

Если радиус останется постоянным, то первая космическая скорость увеличится точно в 3 раза, как показано выше.

Пример

Возьмём Землю как пример. Первая космическая скорость на Земле составляет примерно 11,2 км/с. Если масса Земли увеличится в 9 раз, то новая первая космическая скорость будет:

$$v_1^{\prime }=3\cdot 11.2\text{км/с}=33.6\text{км/с}$$

Таким образом, если масса планеты увеличится в 9 раз (и радиус останется прежним), то первая космическая скорость возрастет до 33,6 км/с.

Заключение

Ответ на вопрос: если масса планеты увеличится в 9 раз, первая космическая скорость возрастет в 3 раза, при условии, что радиус планеты не изменится.