как привести многочлен к стандартному виду

Приведение многочлена к стандартному виду — это процесс упорядочивания его членов так, чтобы они шли в убывающем порядке степеней переменной. В математике стандартный вид многочлена обычно предполагает, что все члены имеют вид $anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0$ , где $an,an−1,…,a1,a0a_n, a_{n-1}, dots, a_1, a_0$ — коэффициенты, а $n$ — степень многочлена. Рассмотрим этот процесс более подробно.

Шаг 1: Упорядочивание членов по степени

Каждый член многочлена имеет вид $a_k x^k$ , где $a_k$ — это коэффициент, а $k$ — степень переменной $x$ . Чтобы привести многочлен к стандартному виду, все члены нужно упорядочить по убыванию степени $k$ , начиная с наибольшего значения степени.

Например, если у нас есть многочлен:

$3×2−5+x3−2x+4×2,3x^2 — 5 + x^3 — 2x + 4x^2,$

то в первую очередь необходимо упорядочить члены по степеням $x$ . Степени у нас: $x^3$ , $x^2$ , $x^2$ , $x$ и константа (степень 0). После упорядочивания:

$x3+3×2+4×2−2x−5.x^3 + 3x^2 + 4x^2 — 2x — 5.$

Шаг 2: Приведение подобных членов

Многочлены часто содержат несколько членов с одинаковыми степенями. В таком случае их нужно сложить или вычесть, чтобы получить один итоговый коэффициент для каждого значения степени.

В примере выше у нас есть два члена с $x^2$ (это $3x^2$ и $4x^2$ ). Мы их складываем:

$x3+(3×2+4×2)−2x−5=x3+7×2−2x−5.x^3 + (3x^2 + 4x^2) — 2x — 5 = x^3 + 7x^2 — 2x — 5.$

Теперь у нас есть многочлен в упорядоченном виде, и все подобные члены приведены.

Шаг 3: Убедиться в правильности

После приведения многочлена к стандартному виду, нужно убедиться, что каждый член имеет правильную степень и что все подобные члены были правильно объединены.

Пример:

Допустим, у нас есть многочлен:

$2×3−5×2+x−3+7×3+4×2−2x+1.2x^3 — 5x^2 + x — 3 + 7x^3 + 4x^2 — 2x + 1.$

Упорядочиваем по степени $x$ :

$(2×3+7×3)+(−5×2+4×2)+(x−2x)+(−3+1).(2x^3 + 7x^3) + (-5x^2 + 4x^2) + (x — 2x) + (-3 + 1).$

Приводим подобные члены:

$9×3−x2−x−2.9x^3 — x^2 — x — 2.$

Это и будет стандартный вид данного многочлена.

Примечания:

Если коэффициент равен нулю, то этот член можно просто опустить. Например, если у нас есть многочлен вида $2×3+0x2−3x+02x^3 + 0x^2 — 3x + 0$ , то можно записать его как $2×3−3x2x^3 — 3x$ , исключив нулевые члены.
Константные члены обычно идут последними в стандартном виде, то есть с нулевой степенью (например, $- 2$ ).

Преимущества стандартного вида:

Упрощает выполнение операций с многочленами, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.
Облегчает анализ свойств многочлена, таких как его степень, ведущий коэффициент и поведение на бесконечности.
Полезен при решении задач, например, нахождении корней многочлена с использованием теорем о вещественных и комплексных корнях.

Таким образом, стандартный вид многочлена — это просто упорядочивание его членов по степени и приведение подобных членов.