Для того чтобы найти катет в прямоугольном треугольнике, зная гипотенузу, нужно использовать теорему Пифагора. Однако, для этого необходимо также иметь информацию о втором катете или угле в треугольнике, так как одной гипотенузы недостаточно для нахождения катета. Давай разберёмся по шагам.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если cc — гипотенуза, а aa и bb — катеты, то:
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
Отсюда можно выразить один катет через гипотенузу и другой катет.
Вариант 1: Знаем гипотенузу и один катет
Предположим, что тебе известны гипотенуза cc и один из катетов aa, и нужно найти второй катет bb.
Запишем теорему Пифагора:
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
Из этого уравнения выразим второй катет bb:
b2=c2−a2b^2 = c^2 — a^2
Для нахождения bb нужно извлечь квадратный корень из полученной формулы:
b=c2−a2b = sqrt{c^2 — a^2}
Пример:
Пусть гипотенуза c=10c = 10, а один из катетов a=6a = 6.
Используем формулу:
b2=102−62=100−36=64b^2 = 10^2 — 6^2 = 100 — 36 = 64
Извлекаем квадратный корень:
b=64=8b = sqrt{64} = 8
Таким образом, второй катет bb равен 8.
Вариант 2: Знаем гипотенузу и угол
Если у тебя есть угол θtheta между одним из катетов и гипотенузой (кроме прямого угла), то можно использовать тригонометрические функции для нахождения катетов.
Для нахождения катета через синус:
Синус угла θtheta равен отношению противолежащего катета aa к гипотенузе cc:
sin(θ)=acsin(theta) = frac{a}{c}
Отсюда катет aa можно выразить как:
a=c⋅sin(θ)a = c cdot sin(theta)
Для нахождения катета через косинус:
Косинус угла θtheta равен отношению прилежащего катета bb к гипотенузе cc:
cos(θ)=bccos(theta) = frac{b}{c}
Отсюда катет bb можно выразить как:
b=c⋅cos(θ)b = c cdot cos(theta)
Пример:
Пусть гипотенуза c=10c = 10, а угол θ=30∘theta = 30^circ. Найдём катеты.
Для нахождения противолежащего катета aa, используя синус:
a=10⋅sin(30∘)=10⋅0.5=5a = 10 cdot sin(30^circ) = 10 cdot 0.5 = 5
Для нахождения прилежащего катета bb, используя косинус:
b=10⋅cos(30∘)=10⋅32≈10⋅0.866≈8.66b = 10 cdot cos(30^circ) = 10 cdot frac{sqrt{3}}{2} approx 10 cdot 0.866 approx 8.66
Таким образом, катет a=5a = 5, а катет b≈8.66b approx 8.66.
Заключение
Чтобы найти катет в прямоугольном треугольнике, зная гипотенузу, тебе нужно либо:
знать другой катет (и использовать теорему Пифагора), либо
знать угол между гипотенузой и катетом (и использовать тригонометрические функции).
Без дополнительной информации о другом катете или угле, только гипотенузы недостаточно для однозначного нахождения катета.
