Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно выполнить несколько последовательных шагов. Рассмотрим, как это сделать на примере функции f(x)f(x), которая определена на отрезке [a,b][a, b], где aa и bb — константы.
Шаг 1: Проверка, является ли функция непрерывной
Для того чтобы найти наименьшее значение функции, важно, чтобы она была непрерывной на отрезке. Если функция не является непрерывной, то на отрезке могут возникнуть разрывы, и для таких функций задача нахождения наименьшего значения будет сложнее. Однако в большинстве случаев для функций, с которыми мы работаем в математике, предполагается, что они непрерывны.
Шаг 2: Находим производную функции
Для нахождения экстремумов функции, то есть точек, где функция достигает локальных минимумов или максимумов, необходимо найти первую производную функции f′(x)f'(x).
Почему производная?
Если f′(x)=0f'(x) = 0, то это возможная точка экстремума (максимум или минимум), а также точка, где функция может изменить направление.
Если f′(x)f'(x) не существует в какой-то точке, то в этой точке тоже может быть экстремум, например, точка излома.
Шаг 3: Решаем уравнение f′(x)=0f'(x) = 0
После того как мы нашли первую производную функции, нужно решить уравнение f′(x)=0f'(x) = 0, чтобы найти критические точки. Это точки, где производная равна нулю, то есть где функция может изменять свою скорость роста или убывания.
Для решения уравнения f′(x)=0f'(x) = 0 решаем его по аналогии с обычными уравнениями: находим корни производной.
Шаг 4: Определяем, находятся ли критические точки в интервале [a,b][a, b]
Полученные критические точки нужно проверять, находятся ли они в пределах рассматриваемого отрезка [a,b][a, b]. Если критическая точка находится за пределами отрезка, она нас не интересует.
Шаг 5: Проверка граничных точек
Не забывайте, что на отрезке [a,b][a, b] наименьшее значение функции может также быть на границе отрезка. То есть нужно также вычислить значение функции в точках x=ax = a и x=bx = b.
Шаг 6: Применение тестов для классификации точек экстремума
Для того чтобы понять, является ли точка экстремума минимумом или максимумом, можно воспользоваться первым или вторым производным тестом.
Первый производный тест:
Если f′(x)f'(x) меняет знак с положительного на отрицательный, то точка xx — локальный максимум.
Если f′(x)f'(x) меняет знак с отрицательного на положительный, то точка xx — локальный минимум.
Второй производный тест:
Если f′′(x)>0f»(x) > 0 в точке xx, то точка является локальным минимумом.
Если f′′(x)<0f»(x) < 0 в точке xx, то точка является локальным максимумом.
Этот тест можно применять к критическим точкам, которые находятся в пределах отрезка.
Шаг 7: Сравнение значений функции
Теперь у нас есть несколько значений функции: в точках aa, bb, а также в критических точках на отрезке. Нужно вычислить все эти значения и выбрать минимальное из них. Это и будет наименьшее значение функции на отрезке.
Пример
Рассмотрим, например, функцию:
f(x)=x2−4x+3на отрезке[0,5]f(x) = x^2 — 4x + 3 quad text{на отрезке} quad [0, 5]
Шаг 1: Проверяем, что функция непрерывна (она является многочленом, следовательно, непрерывна на всем Rmathbb{R}).
Шаг 2: Находим производную функции:
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x — 4
Шаг 3: Решаем f′(x)=0f'(x) = 0:
2x−4=0⇒x=22x — 4 = 0 quad Rightarrow quad x = 2
Точка x=2x = 2 — это критическая точка.
Шаг 4: Проверяем, лежит ли точка x=2x = 2 в интервале [0,5][0, 5]. Да, точка x=2x = 2 лежит в пределах отрезка.
Шаг 5: Проверяем значения функции на границах:
f(0)=02−4⋅0+3=3f(0) = 0^2 — 4 cdot 0 + 3 = 3
f(5)=52−4⋅5+3=25−20+3=8f(5) = 5^2 — 4 cdot 5 + 3 = 25 — 20 + 3 = 8Шаг 6: Проверяем значение функции в критической точке:
f(2)=22−4⋅2+3=4−8+3=−1f(2) = 2^2 — 4 cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1
Шаг 7: Сравниваем все значения:
f(0)=3f(0) = 3
f(2)=−1f(2) = -1
f(5)=8f(5) = 8
Наименьшее значение функции на отрезке [0,5][0, 5] — это f(2)=−1f(2) = -1.
Заключение
Наименьшее значение функции на отрезке можно найти, выполнив следующие шаги: найти критические точки, проверить значения функции на концах отрезка и в критических точках, а затем выбрать минимальное значение.
