как преобразовать десятичную дробь в обыкновенную

Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную дробь, нужно использовать несколько шагов. Важно понимать, что десятичные дроби могут быть конечными (например, 0,75) или бесконечными (например, 0,333…). В ответе я подробно объясню оба случая.

1. Преобразование конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь

Шаги:

1. Запишем десятичную дробь как дробь с числителем и знаменателем.

2. Умножим числитель и знаменатель на 10, 100, 1000 и так далее, в зависимости от количества знаков после запятой.

3. Упростим полученную дробь.

Пример 1: Преобразуем 0,75 в обыкновенную дробь.

1. Напишем 0,75 как дробь:

   $$0,75=\frac{75}{100}$$

2. Упростим дробь. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Для чисел 75 и 100 НОД равен 25:

   $$\frac{75}{100}=\frac{75÷25}{100÷25}=\frac{3}{4}$$

Ответ: 0,75 = $\frac{3}{4}$.

Пример 2: Преобразуем 0,6 в обыкновенную дробь.

1. Запишем 0,6 как дробь:

   $$0,6=\frac{6}{10}$$

2. Упростим дробь. НОД чисел 6 и 10 равен 2:

   $$\frac{6}{10}=\frac{6÷2}{10÷2}=\frac{3}{5}$$

Ответ: 0,6 = $\frac{3}{5}$.

2. Преобразование бесконечной десятичной дроби в обыкновенную

Бесконечные десятичные дроби делятся на два типа:

• Периодические дроби: когда после запятой начинается повторяющаяся группа цифр (например, 0,666… или 0,123123…).

• Не периодические дроби: когда нет повторяющихся цифр (например, 0,333… или 0,142857…).

2.1. Преобразование периодической дроби в обыкновенную

Если дробь периодическая, то мы можем использовать метод алгебраического выражения для нахождения обыкновенной дроби.

Пример 1: Преобразуем 0,666… в обыкновенную дробь.

1. Обозначим число как $x=0,666\dots$.

2. Умножим обе стороны на 10, чтобы переместить десятичную точку:

   $$10x=6,666\dots$$

3. Теперь вычтем первое уравнение из второго:

   $$10x-x=6,666\dots -0,666\dots$$
   $$9x=6$$

4. Разделим обе стороны на 9:

   $$x=\frac{6}{9}$$

5. Упростим дробь. НОД чисел 6 и 9 равен 3:

   $$\frac{6}{9}=\frac{6÷3}{9÷3}=\frac{2}{3}$$

Ответ: 0,666… = $\frac{2}{3}$.

2.2. Преобразование смешанной периодической дроби в обыкновенную

Если дробь имеет не периодическую и периодическую части (например, 0,123123…), то нужно использовать более сложный подход.

Пример 2: Преобразуем 0,123123… в обыкновенную дробь.

1. Обозначим число как $x=0,123123\dots$.

2. Умножим обе стороны на 1000, чтобы выделить период (3 цифры):

   $$1000x=123,123123\dots$$

3. Умножим обе стороны на 1, чтобы выделить только часть до запятой:

   $$x=0,123123\dots$$

4. Вычтем первое уравнение из второго:

   $$1000x-x=123,123123\dots -0,123123\dots$$
   $$999x=123$$

5. Разделим обе стороны на 999:

   $$x=\frac{123}{999}$$

6. Упростим дробь. НОД чисел 123 и 999 равен 3:

   $$\frac{123}{999}=\frac{123÷3}{999÷3}=\frac{41}{333}$$

Ответ: 0,123123… = $\frac{41}{333}$.

3. Как действовать, если дробь не периодическая

Если дробь бесконечная, но не периодическая (например, 0,142857… или 0,333…), то такие дроби не могут быть выражены конечной обыкновенной дробью.

Итог

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную зависит от типа дроби. Для конечных дробей достаточно записать их как дробь с подходящим знаменателем, а для бесконечных периодических дробей — применить метод алгебраических преобразований.