почему в 4 хугольник можно вписать окружность

Чтобы понять, почему в произвольный четырёхугольник можно вписать окружность, нужно сначала разобраться в геометрических свойствах четырёхугольников и окружностей. Важнейший момент заключается в том, что это возможно только для особых четырёхугольников, которые называются циркульными.

Теорема о вписанности окружности в четырёхугольник

Теорема: В произвольный четырёхугольник можно вписать окружность, если и только если сумма длин его противоположных сторон равна между собой. То есть, если четырёхугольник имеет стороны $a$, $b$, $c$ и $d$, то для того чтобы в него можно было вписать окружность, должно выполняться условие:

$$a+c=b+d$$

Если это условие выполняется, то такой четырёхугольник называется циркульным или тангентным четырёхугольником.

Доказательство теоремы

Давайте разберемся, почему эта теорема работает.

1. Свойства касательных: Пусть $O$ — окружность, вписанная в четырёхугольник $ABCD$. Тогда все стороны четырёхугольника касаются этой окружности, и для каждой из сторон существует точка касания. Пусть окружность касается стороны $AB$ в точке $P_1$, стороны $BC$ в точке $P_2$, стороны $CD$ в точке $P_3$, и стороны $DA$ в точке $P_4$. Обозначим длины отрезков от вершин четырёхугольника до точек касания окружности как:

   • $A{P}_1=x$,

   • $B{P}_1=y$,

   • $B{P}_2=z$,

   • $C{P}_2=w$,

   • $C{P}_3=u$,

   • $D{P}_3=v$,

   • $D{P}_4=p$,

   • $A{P}_4=q$.

2. Равенство отрезков касания: Для каждой стороны четырёхугольника длина отрезков касания будет одинаковой с обеих сторон:

   • $A{P}_1=A{P}_4=x$,

   • $B{P}_1=B{P}_2=y$,

   • $C{P}_2=C{P}_3=z$,

   • $D{P}_3=D{P}_4=w$.

3. Сумма длин противоположных сторон: Используя вышеописанные обозначения для длины отрезков касания, можно выразить длины сторон четырёхугольника следующим образом:

   • Длина стороны $AB=A{P}_1+B{P}_1=x+y$,

   • Длина стороны $BC=B{P}_2+C{P}_2=y+z$,

   • Длина стороны $CD=C{P}_3+D{P}_3=z+w$,

   • Длина стороны $DA=D{P}_4+A{P}_4=w+x$.

Теперь, для того чтобы окружность была вписана в четырёхугольник, сумма длин противоположных сторон должна быть одинаковой. То есть:

$$(AB+CD)=(BC+DA)$$

То есть:

$$(x+y+z+w)=(y+z+w+x)$$

что, очевидно, выполняется. Именно это и есть условие теоремы о вписанности окружности.

Геометрическая интерпретация

Геометрически можно представить, что в четырёхугольник вписана окружность, если эта окружность касается всех его сторон. Когда сумма длин противоположных сторон равна, это создаёт баланс, при котором каждая сторона четырёхугольника может быть «касательной» к окружности. В противном случае, окружность не будет касаться всех сторон четырёхугольника, и она не сможет быть вписана.

Примеры

1. Прямоугольник: Прямоугольник — это частный случай четырёхугольника, где противоположные стороны равны, то есть $a=c$ и $b=d$. В таком случае сумма противоположных сторон равна, и в прямоугольник можно вписать окружность.

2. Ромб: Ромб — это ещё один частный случай, где все стороны равны. Сумма противоположных сторон всегда равна, так как они одинаковы. Таким образом, в ромб также можно вписать окружность.

3. Произвольный четырёхугольник: Для произвольного четырёхугольника, если выполняется условие $a+c=b+d$, то в него можно вписать окружность.

Заключение

Итак, в четырёхугольник можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин его противоположных сторон равна. Это условие является необходимым и достаточным для вписанности окружности. Когда оно выполняется, четырёхугольник становится циркульным (или тангентным) и имеет уникальное геометрическое свойство, заключающееся в том, что окружность может касаться всех его сторон.