как найти расстояние между точками

Чтобы найти расстояние между двумя точками на плоскости, можно использовать формулу расстояния, основанную на теореме Пифагора. Рассмотрим, как это делается на примере двумерной координатной системы (с осями $x$ и $y$).

1. Уравнение расстояния между точками

Если даны две точки $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$, то расстояние $d$ между ними можно найти с помощью следующей формулы:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Эта формула является следствием применения теоремы Пифагора к прямоугольному треугольнику, у которого:

• одна катет — это разница по оси $x$ (то есть $x_2-x_1$),

• второй катет — это разница по оси $y$ (то есть $y_2-y_1$),

• гипотенуза — это искомое расстояние $d$.

2. Как работает формула на примере

Предположим, у нас есть две точки:

• $A(1,2)$,

• $B(4,6)$.

Теперь подставим эти значения в формулу:

$$d=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$

Таким образом, расстояние между точками $A(1,2)$ и $B(4,6)$ равно 5 единиц.

3. Вариант для трехмерного пространства

Если мы работаем с точками в трехмерном пространстве, например, с точками $A(x_1,y_1,z_1)$ и $B(x_2,y_2,z_2)$, то формула для нахождения расстояния будет немного расширена:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

Пример:
Предположим, есть две точки:

• $A(1,2,3)$,

• $B(4,6,8)$.

Подставляем в формулу:

$$d=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2+(8-3{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}\approx \mathrm{7.07.}$$

Таким образом, расстояние между этими точками будет примерно равно 7.07 единиц.

4. Применение в различных задачах

Формула расстояния используется не только в геометрии, но и в ряде прикладных задач, например:

• В физике для нахождения расстояния между объектами в пространстве.

• В компьютерной графике для вычисления расстояний между пикселями или объектами на экране.

• В машинном обучении для оценки сходства между объектами в многомерном пространстве признаков (например, при использовании метода ближайших соседей).

5. Выводы

Чтобы найти расстояние между двумя точками на плоскости или в пространстве, нужно:

1. Применить формулу расстояния, которая основана на разности координат.

2. Подставить координаты точек в формулу и вычислить результат.

Важно помнить, что для пространства большей размерности (например, 4D, 5D и т.д.) формула будет просто расширяться добавлением дополнительных членов с разностями по каждому из измерений.