как найти угловой коэффициент касательной к графику функции

Для того чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, нужно выполнить несколько шагов. Разберём этот процесс подробно.

1. Понимание касательной

Касательная к графику функции в какой-либо точке — это прямая, которая касается графика функции в этой точке, то есть пересекает график функции только в одной точке и имеет одинаковое направление с графиком в этой точке. Угловой коэффициент касательной определяет наклон этой прямой.

2. Связь углового коэффициента касательной с производной

Для функции $f(x)$, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ можно найти как значение её производной в этой точке. Это объясняется тем, что производная функции в точке $x_0$ представляет собой скорость изменения функции в этой точке, а это и есть наклон касательной к графику функции в точке $x_0$.

• Производная $f^{\prime }(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$.

3. Формула для углового коэффициента

Если известна функция $f(x)$, и мы хотим найти угловой коэффициент касательной в точке $x_0$, то угловой коэффициент будет равен производной функции в этой точке:

$$k=f^{\prime }(x_0)$$

Где:

• $k$ — угловой коэффициент касательной.

• $f^{\prime }(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

4. Нахождение уравнения касательной

Уравнение касательной можно записать в точке $(x_0,f(x_0))$ как:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)$$

Где:

• $f^{\prime }(x_0)$ — угловой коэффициент касательной.

• $(x_0,f(x_0))$ — точка касания графика функции с касательной.

• $y$ — значение функции для любого $x$.

5. Пример

Предположим, у нас есть функция:

$$f(x)=x^2+3x+1$$

Мы хотим найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0=2$.

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$.

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^2+3x+1)=2x+3$$

Шаг 2: Подставим $x_0=2$ в производную для нахождения углового коэффициента.

$$f^{\prime }(2)=2(2)+3=4+3=7$$

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0=2$ равен 7.

Шаг 3: Уравнение касательной в точке $x_0=2$.

Теперь найдём уравнение касательной. Для этого нам нужно подставить в формулу уравнения касательной точку $(x_0,f(x_0))$ и угловой коэффициент $f^{\prime }(x_0)$.

Сначала найдём $f(2)$:

$$f(2)=2^2+3(2)+1=4+6+1=11$$

Теперь у нас есть точка касания $(2,11)$ и угловой коэффициент $7$. Подставляем в уравнение касательной:

$$y-11=7(x-2)$$

Раскрываем скобки:

$$y-11=7x-14$$

Теперь приводим к стандартному виду:

$$y=7x-3$$

Итак, уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2+3x+1$ в точке $x=2$ — это $y=7x-3$.

6. Заключение

• Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно вычислить производную функции в точке касания.

• Угловой коэффициент касательной — это просто значение производной функции в нужной точке.

• Уравнение касательной можно найти с помощью формулы: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)$.

Таким образом, основной инструмент для нахождения углового коэффициента касательной — это производная функции.