как извлекать корень из числа

Извлечение корня из числа — это операция нахождения числа, которое при возведении в степень, даёт исходное число. Например, квадратный корень из числа 16 — это 4, потому что $4^2 = 16$ .

В математике существует несколько видов корней. Рассмотрим два основных:

Квадратный корень — это корень второй степени, и его обозначают как $x$ , где $x$ — это число, из которого мы извлекаем корень. То есть, мы ищем число, которое, будучи возведённым в квадрат, даёт $x$ .
Корни других степеней — это корни более высокой степени, например, кубический корень $3 x$ или корень четвёртой степени $4 x$ .

Извлечение квадратного корня

1. Простой способ — использование числовых таблиц

Когда компьютеры или калькуляторы не были так распространены, люди часто пользовались таблицами, где были заранее вычислены квадратные корни для множества чисел. Но в современности это уже не актуально, так как у нас есть быстрые способы вычислений с помощью калькуляторов.

2. Использование калькулятора

В большинстве калькуляторов есть специальная кнопка для вычисления квадратного корня, обозначенную как . Просто введите число и нажмите эту кнопку.

3. Ручное извлечение квадратного корня

Можно воспользоваться методом подбора или специальными алгоритмами для извлечения квадратного корня. Рассмотрим один из таких методов — метод Ньютона (или метод касательных).

Метод Ньютона (Метод касательных)

Это итеративный метод, который позволяет быстро вычислить корень из числа с нужной точностью. Метод заключается в следующем:

Начинаем с некоторого приближенного значения $x_0$ , которое близко к истинному корню числа $N$ .
Далее, используя формулу:
$xn+1=12(xn+Nxn)x_{n+1} = frac{1}{2} left( x_n + frac{N}{x_n} right)$
получаем новое приближенное значение корня $x_{n+1}$ .
Повторяем шаги 2 до тех пор, пока разница между текущим и предыдущим значением не станет достаточно малой (например, до $10^{-5}$ или $10^{-6}$ ).

Пример:

Найдем квадратный корень из 16 с помощью метода Ньютона.

Инициализируем $x_0 = 4$ (знаем, что корень из 16 — это 4, но давайте для примера начнём с этого).
Применим формулу:
$x1=12(4+164)=12(4+4)=4x_1 = frac{1}{2} left( 4 + frac{16}{4} right) = frac{1}{2} left( 4 + 4 right) = 4$
Так как $x_1 = x_0$ , мы получаем, что наш корень уже найден.

Если бы результат был не точным, мы бы продолжили повторять шаги, пока значение не стабилизировалось.

Алгоритм для извлечения корня n-ой степени

Чтобы извлечь корень степени $n$ из числа $N$ , используется расширенная версия метода Ньютона. В этом случае формула будет выглядеть так:

$xn+1=xn−xnn−Nn⋅xnn−1x_{n+1} = x_n — frac{x_n^n — N}{n cdot x_n^{n-1}}$

Этот алгоритм работает аналогично предыдущему, только теперь мы ищем число, которое при возведении в степень $n$ даёт $N$ .

Пример: кубический корень

Найдем кубический корень из 27. Задача — найти число, которое при возведении в куб даёт 27.

Инициализируем $x_0 = 3$ (так как 3³ = 27).
Применяем формулу метода Ньютона для кубического корня:
$x1=x0−x03−273⋅x02=3−27−273⋅9=3x_1 = x_0 — frac{x_0^3 — 27}{3 cdot x_0^2} = 3 — frac{27 — 27}{3 cdot 9} = 3$
Поскольку $x_1 = x_0$ , мы видим, что наш кубический корень уже найден.

Извлечение корня вручную: метод долгого деления

Существует также метод, называемый длинным делением, который аналогичен методу деления для извлечения квадратного корня вручную. Этот метод может быть полезен для получения корней в случае, когда нет калькулятора, но нужно вычислить значение с высокой точностью. Вот его основные шаги:

Разбиваем число на группы цифр, начиная с запятой (например, для 25,00 это будет: 25|00).
Ищем наибольшее число, которое при возведении в квадрат даёт результат, меньший или равный первой группе.
Пишем этот корень и вычитаем его квадрат из первой группы.
Спускаем следующую пару цифр и продолжаем процесс.

Однако на практике этот метод редко используется, так как калькуляторы и компьютеры позволяют сделать это намного быстрее.

Заключение

Извлечение корня — это несложная, но важная математическая операция, которая может быть выполнена с помощью различных методов. На практике чаще всего используются калькуляторы или компьютеры, но знание алгоритмов, таких как метод Ньютона, может быть полезным для понимания того, как работают такие операции в вычислениях.

Если хочешь, могу показать, как это будет работать на практике с конкретными числами!