Сокращение дробей — это процесс упрощения дроби, при котором числитель и знаменатель делятся на одно и то же число. Обычно для этого используют наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Давай разберёмся, как это делать шаг за шагом.
Шаг 1: Найдём наибольший общий делитель (НОД)
Чтобы сократить дробь, нужно сначала найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя. НОД — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.
Как найти НОД?
Перепиши оба числа (числитель и знаменатель) в виде множителей простых чисел.
Например, если нужно найти НОД для чисел 12 и 18:12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
Выбери все общие множители.
В данном случае, общие множители — это 2 и 3.Перемножь общие множители.
2 × 3 = 6, значит НОД(12, 18) = 6.
Теперь мы знаем, что наибольший общий делитель чисел 12 и 18 — это 6.
Шаг 2: Разделим числитель и знаменатель на НОД
Как только мы нашли НОД, нужно разделить и числитель, и знаменатель на это число. Это и будет сокращение дроби.
Возьмём, например, дробь 12/18.
НОД чисел 12 и 18 — это 6.
Разделим числитель и знаменатель на 6:
12 ÷ 6 = 2
18 ÷ 6 = 3
Итак, дробь 12/18 сокращается до 2/3.
Шаг 3: Проверим результат
После того как мы сократили дробь, можно проверить, что получилось. Важно удостовериться, что дробь больше нельзя сократить, то есть НОД числителя и знаменателя равен 1.
Для дроби 2/3:
НОД(2, 3) = 1.
Значит, дробь уже в самом простом виде.
Примеры:
Дробь 8/20.
НОД(8, 20) = 4.
Разделим числитель и знаменатель на 4:
8 ÷ 4 = 2
20 ÷ 4 = 5
Получаем дробь 2/5.
Дробь 15/25.
НОД(15, 25) = 5.
Разделим числитель и знаменатель на 5:
15 ÷ 5 = 3
25 ÷ 5 = 5
Получаем дробь 3/5.
Важные замечания:
Если НОД числителя и знаменателя равен 1, значит, дробь уже в самом простом виде и её нельзя упростить.
Простые дроби — это дроби, у которых числитель и знаменатель взаимно просты, то есть их НОД = 1.
Если дробь можно сократить на несколько чисел (например, 12/36), то делайте это поэтапно, находя НОД каждого шага.
Ещё один метод: Разделение на простые множители
Для того чтобы быстрее найти НОД, можно воспользоваться методом разложения на простые множители:
Разложи числитель и знаменатель на простые множители.
Найди общие множители.
Перемножь их — это и будет НОД.
Пример: 24/36.
Разложим на простые множители:
24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3
Общие множители: дважды 2 и один 3.
Перемножим их: 2 × 2 × 3 = 12.
НОД(24, 36) = 12.
Теперь делим числитель и знаменатель на 12:
24 ÷ 12 = 2
36 ÷ 12 = 3
Получаем дробь 2/3.
Сокращение дробей — это важный и полезный процесс в математике, который помогает упростить вычисления и делает дроби более понятными. Главное — практиковаться, чтобы быстро находить НОД и сокращать дроби правильно!
