как решать дроби 9 класс огэ

Решение задач с дробями в 9 классе ОГЭ важно для того, чтобы уверенно справляться с разными типами вопросов, которые могут встретиться на экзамене. В основном задачи связаны с четырьмя основными операциями с дробями: сложение, вычитание, умножение и деление. Также важно правильно приводить дроби к общему знаменателю и работать с целыми числами, преобразуя их в дроби или наоборот. Давай разберем все этапы и правила по порядку.

1. Приведение дробей к общему знаменателю

Перед тем как сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Это делается с целью преобразования дробей в одинаковые по форме, чтобы было удобно проводить операции.

Шаги:

• Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для данных дробей. Обычно для этого нужно разложить знаменатели на простые множители и взять наибольшую степень каждого простого числа.

• После того как нашли НОЗ, преобразуем каждую дробь, умножив числитель и знаменатель на нужный коэффициент так, чтобы знаменатель стал равным НОЗ.

Пример:
Сложим дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$.

1. Находим НОЗ для 3 и 6. Разлагаем: $3=3$, $6=2\times 3$. НОЗ = 6.

2. Преобразуем дроби:

   • $\frac{2}{3}$ нужно умножить на $\frac{2}{2}$, чтобы получить знаменатель 6: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$.

   • $\frac{5}{6}$ уже имеет знаменатель 6, так что оставляем как есть.

3. Складываем дроби:

   $$\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=1\frac{1}{2}$$

   Ответ: $1\frac{1}{2}$.

2. Сложение и вычитание дробей

Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю, как показано в предыдущем примере. После этого можно просто складывать или вычитать числители.

Пример сложения:

$$\frac{3}{4}+\frac{5}{12}$$

1. Находим НОЗ для 4 и 12. НОЗ = 12.

2. Преобразуем дроби:

   • $\frac{3}{4}$ умножаем на $\frac{3}{3}$, получаем $\frac{9}{12}$.

   • $\frac{5}{12}$ оставляем как есть.

3. Складываем:

   $$\frac{9}{12}+\frac{5}{12}=\frac{14}{12}=1\frac{2}{12}=1\frac{1}{6}$$

   Ответ: $1\frac{1}{6}$.

Пример вычитания:

$$\frac{7}{10}-\frac{3}{5}$$

1. НОЗ для 10 и 5 = 10.

2. Преобразуем дроби:

   • $\frac{7}{10}$ оставляем как есть.

   • $\frac{3}{5}$ умножаем на $\frac{2}{2}$, получаем $\frac{6}{10}$.

3. Вычитаем:

   $$\frac{7}{10}-\frac{6}{10}=\frac{1}{10}$$

   Ответ: $\frac{1}{10}$.

3. Умножение дробей

Чтобы умножить дроби, умножаем числители друг на друга, а знаменатели — тоже. Если возможно, перед умножением можно сократить дроби, чтобы упростить вычисления.

Пример:

$$\frac{2}{5}\times \frac{3}{4}$$

1. Умножаем числители: $2\times 3=6$.

2. Умножаем знаменатели: $5\times 4=20$.

3. Получаем дробь: $\frac{6}{20}$, которую можно сократить на 2:

   $$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

   Ответ: $\frac{3}{10}$.

4. Деление дробей

Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на обратную вторую дробь (перевернуть вторую дробь). Далее, как и при умножении, умножаем числители и знаменатели.

Пример:

$$\frac{2}{5}:\frac{3}{4}$$

1. Переворачиваем вторую дробь: $\frac{3}{4}$ становится $\frac{4}{3}$.

2. Умножаем:

   $$\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}=\frac{2\times 4}{5\times 3}=\frac{8}{15}$$

   Ответ: $\frac{8}{15}$.

5. Работа с целыми числами

При работе с целыми числами важно помнить, что целое число можно выразить как дробь с знаменателем 1. Например, $3$ — это то же самое, что $\frac{3}{1}$.

Пример:

$$3\times \frac{4}{5}=\frac{3}{1}\times \frac{4}{5}=\frac{3\times 4}{1\times 5}=\frac{12}{5}$$

Ответ: $\frac{12}{5}$, или $2\frac{2}{5}$.

6. Сокращение дробей

Если дробь можно сократить (например, числитель и знаменатель имеют общий делитель), нужно это сделать, чтобы получить наименьшую форму дроби.

Пример:

$$\frac{8}{12}$$

Числитель и знаменатель делятся на 4, поэтому:

$$\frac{8}{12}=\frac{8÷4}{12÷4}=\frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

7. Решение задач на дроби

Задачи на дроби могут включать такие типы вопросов, как:

• Нахождение доли от числа.

• Пропорции и их решение.

• Применение дробей в реальных ситуациях (например, при расчете скидок, расстояний и т.д.).

Пример задачи:
Задача: В классе 20 учеников, из которых $\frac{3}{4}$ — мальчики. Сколько мальчиков в классе?
Решение:

1. Найдем $\frac{3}{4}$ от 20.

2. Умножим: $20\times \frac{3}{4}=15$.
   Ответ: 15 мальчиков.

Заключение

Для уверенной работы с дробями важно:

• Хорошо освоить операции с дробями: сложение, вычитание, умножение и деление.

• Уметь приводить дроби к общему знаменателю и работать с целыми числами, представляя их в виде дробей.

• Уметь сокращать дроби и преобразовывать их в наиболее простую форму.

При подготовке к ОГЭ важно также практиковаться в решении задач разных типов, чтобы уверенно применять полученные знания на экзамене.