какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством

Основным тригонометрическим тождеством называют тождество Пифагора, которое выражает основное соотношение между функциями синуса, косинуса и единицей. Это тождество формулируется следующим образом:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

Разбор тождества

• Тригонометрические функции: В данном тождестве участвуют две важнейшие тригонометрические функции — синус и косинус, которые определяются через отношения сторон прямоугольного треугольника (или через координаты точки на единичной окружности).

  • Синус (sin): для угла $\theta$ синус определяет отношение противолежащей стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе.

  • Косинус (cos): для угла $\theta$ косинус определяет отношение прилежащей стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе.

• Тождество Пифагора: Это тождество называется «основным», потому что оно лежит в основе многих других тригонометрических тождеств и формул. Суть его заключается в том, что сумма квадратов синуса и косинуса для любого угла $\theta$ всегда равна 1. Это имеет геометрическое объяснение.

Геометрическая интерпретация

Представим, что мы находимся на единичной окружности, которая центрирована в начале координатной плоскости (точка $(0,0)$) и имеет радиус 1. Любая точка на этой окружности, которая соответствует углу $\theta$, имеет координаты $(\cos \theta ,\sin \theta )$, где:

• $\cos \theta$ — это абсцисса точки, то есть горизонтальная координата,

• $\sin \theta$ — это ордината, то есть вертикальная координата.

Поскольку точка лежит на единичной окружности, расстояние от неё до начала координат (до точки $(0,0)$) всегда равно 1. Это расстояние можно выразить через теорему Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $\cos \theta$ и $\sin \theta$. Получаем:

$$\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$$

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем:

$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$

Это и есть основное тригонометрическое тождество.

Применения основного тождества

1. Преобразование тригонометрических выражений: Основное тождество позволяет упрощать и преобразовывать различные тригонометрические выражения. Например, можно выразить ${\cos }^2\theta$ через ${\sin }^2\theta$ или наоборот:

   $${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$
   $${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$$

2. Переходы между функциями: Это тождество используется для перехода между синусом и косинусом, например, для доказательства других тригонометрических тождеств и равенств.

3. Решение уравнений: Основное тригонометрическое тождество позволяет решать различные тригонометрические уравнения. Например, для уравнения вида ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ можно использовать основное тождество для упрощения уравнения.

4. Производные и интегралы тригонометрических функций: Это тождество также играет важную роль в дифференцировании и интегрировании тригонометрических функций, например, в нахождении производных или интегралов от $\sin \theta$, $\cos \theta$, и других тригонометрических выражений.

Примеры

1. Пример 1:
   Упростим выражение: ${\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta$.

   Используем основное тождество:

   $${\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta =(1-{\cos }^2\theta )-{\cos }^2\theta =1-2{\cos }^2\theta$$

2. Пример 2:
   Для упрощения выражения $1-{\sin }^2\theta$, заменим ${\sin }^2\theta$ на $1-{\cos }^2\theta$:

   $$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$$

Заключение

Основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ является фундаментальным для всей тригонометрии, так как служит основой для вывода множества других тождеств и для различных преобразований. Оно также находит применение в геометрии, анализе и решении задач, связанных с тригонометрическими функциями.