Высказывание в математике — это предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным, но не одновременно. Это одно из ключевых понятий в математической логике.
🔹 Определение:
Высказывание — это утверждение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Это означает, что каждое высказывание имеет определённое логическое значение — истина (обозначается как 1 или «И») или ложь (обозначается как 0 или «Л»).
🔹 Примеры высказываний:
✅ «2 + 2 = 4» — истинное высказывание.
❌ «5 является чётным числом» — ложное высказывание.
✅ «Существует простое число больше 100» — истинное высказывание.
❌ «Корень квадратный из −1 — это действительное число» — ложное высказывание в рамках действительных чисел.
🔹 Что не является высказыванием:
Вопросы:
«Сколько будет 2 + 3?» — не является высказыванием, так как это вопрос, у него нет значения истины.
Приказы и просьбы:
«Нарисуй круг» — не высказывание.
Предложения с неопределёнными значениями:
«Этот человек умный» — может быть не высказыванием, если «этот человек» не определён.
«x > 5» — не является высказыванием, пока x не задан. Это выражение или предикат.
🔹 Классификация высказываний:
Простые высказывания — это высказывания, которые не содержат других высказываний как частей.
Пример: «7 — простое число».
Сложные высказывания — образуются из простых с помощью логических связок:
И (конъюнкция): A ∧ B
ИЛИ (дизъюнкция): A ∨ B
НЕ (отрицание): ¬A
ЕСЛИ…ТО (импликация): A → B
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА (эквиваленция): A ↔ B
🔹 Пример:
«Если число делится на 2, то оно чётное» — это сложное высказывание.
🔹 Логическое значение высказываний:
Каждому высказыванию можно приписать значение истины:
Истина (И, 1, True)
Ложь (Л, 0, False)
Это позволяет применять таблицы истинности, чтобы анализировать сложные высказывания.
🔹 Высказывания в контексте:
В логике и математике: используются для построения доказательств, теорем, лемм.
В программировании: выражения условий, булева логика.
В философии: логический анализ речи, истины и суждений.
🔹 Высказывание vs Предикат:
Важно отличать высказывание от предиката (или логической формулы):
Высказывание — конкретное утверждение с определённым значением истины.
Предикат — логическое выражение, которое становится высказыванием, когда переменные получают конкретные значения.
🔹 Пример:
«x > 3» — не высказывание, а предикат.
«5 > 3» — уже высказывание, и оно истинно.
🔹 Формализация в логике:
В логике высказывания обозначаются как переменные:
P, Q, R — логические переменные.
Можно применять логические правила для вывода новых высказываний.
📌 Итог:
Высказывание — это основная единица логики, утверждение, про которое можно однозначно сказать, оно истинно или ложно.
Оно отличается от других видов предложений (вопросов, команд, неопределённых выражений) своей чёткой логической структурой и значением истины. На этом понятии строится вся математическая логика, теория доказательств, формальные системы и программирование.
Если тебе интересно, могу также объяснить, как высказывания используются в логических схемах, арифметике высказываний, или привести примеры таблиц истинности.
