Нахождение обратной матрицы для матрицы размером 3×33 times 3 — это важная задача в линейной алгебре, и она требует выполнения ряда шагов. Я объясню процесс максимально подробно и пошагово.
Пусть дана матрица AA размера 3×33 times 3:
A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A = begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
end{pmatrix}
Чтобы найти обратную матрицу A−1A^{-1}, существует несколько шагов. Давайте разберем их.
Шаг 1: Убедиться, что матрица AA обратима
Чтобы матрица имела обратную, её детерминант должен быть ненулевым. Это условие необходимое для существования обратной матрицы.
Детерминант матрицы AA вычисляется по формуле:
det(A)=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} — a_{23}a_{32}) — a_{12}(a_{21}a_{33} — a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} — a_{22}a_{31})
Если det(A)=0det(A) = 0, то матрица AA необратима (обратной матрицы не существует). Если det(A)≠0det(A) neq 0, продолжаем искать обратную матрицу.
Шаг 2: Найти матрицу алгебраических дополнений
Алгебраическое дополнение CijC_{ij} для элемента aija_{ij} матрицы AA — это детерминант матрицы, которая получается после удаления строки ii и столбца jj из матрицы AA, умноженный на (−1)i+j(-1)^{i+j}.
Удалим строку ii и столбец jj.
Найдем детерминант полученной матрицы 2×22 times 2.
Умножим результат на (−1)i+j(-1)^{i+j}.
Для матрицы AA размером 3×33 times 3 получаем:
C11=det(a22a23a32a33)=a22a33−a23a32C_{11} = det begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} end{pmatrix} = a_{22}a_{33} — a_{23}a_{32}
C12=−det(a21a23a31a33)=−(a21a33−a23a31)C_{12} = -det begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} end{pmatrix} = -(a_{21}a_{33} — a_{23}a_{31})
C13=det(a21a22a31a32)=a21a32−a22a31C_{13} = det begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} end{pmatrix} = a_{21}a_{32} — a_{22}a_{31}
C21=−det(a12a13a32a33)=−(a12a33−a13a32)C_{21} = -det begin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \ a_{32} & a_{33} end{pmatrix} = -(a_{12}a_{33} — a_{13}a_{32})
C22=det(a11a13a31a33)=a11a33−a13a31C_{22} = det begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{31} & a_{33} end{pmatrix} = a_{11}a_{33} — a_{13}a_{31}
C23=−det(a11a12a31a32)=−(a11a32−a12a31)C_{23} = -det begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{31} & a_{32} end{pmatrix} = -(a_{11}a_{32} — a_{12}a_{31})
C31=det(a12a13a22a23)=a12a23−a13a22C_{31} = det begin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \ a_{22} & a_{23} end{pmatrix} = a_{12}a_{23} — a_{13}a_{22}
C32=−det(a11a13a21a23)=−(a11a23−a13a21)C_{32} = -det begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} end{pmatrix} = -(a_{11}a_{23} — a_{13}a_{21})
C33=det(a11a12a21a22)=a11a22−a12a21C_{33} = det begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{pmatrix} = a_{11}a_{22} — a_{12}a_{21}
Итак, матрица алгебраических дополнений CC будет:
C=(C11C12C13C21C22C23C31C32C33)C = begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} \
C_{21} & C_{22} & C_{23} \
C_{31} & C_{32} & C_{33}
end{pmatrix}
Шаг 3: Транспонировать матрицу алгебраических дополнений
После того как мы нашли все алгебраические дополнения, получаем матрицу CC. Теперь нужно её транспонировать (то есть поменять строки на столбцы):
CT=(C11C21C31C12C22C32C13C23C33)C^T = begin{pmatrix}
C_{11} & C_{21} & C_{31} \
C_{12} & C_{22} & C_{32} \
C_{13} & C_{23} & C_{33}
end{pmatrix}
Шаг 4: Найти обратную матрицу
Наконец, обратная матрица A−1A^{-1} находится по формуле:
A−1=1det(A)⋅CTA^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot C^T
То есть, каждая компонента матрицы CTC^T умножается на 1det(A)frac{1}{det(A)}.
Пример
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть дана матрица:
A=(472351689)A = begin{pmatrix}
4 & 7 & 2 \
3 & 5 & 1 \
6 & 8 & 9
end{pmatrix}
Вычисляем детерминант:
det(A)=4(5⋅9−1⋅8)−7(3⋅9−1⋅6)+2(3⋅8−5⋅6)det(A) = 4(5 cdot 9 — 1 cdot 8) — 7(3 cdot 9 — 1 cdot 6) + 2(3 cdot 8 — 5 cdot 6)
det(A)=4(45−8)−7(27−6)+2(24−30)det(A) = 4(45 — 8) — 7(27 — 6) + 2(24 — 30)
det(A)=4⋅37−7⋅21+2⋅(−6)=148−147−12=−11det(A) = 4 cdot 37 — 7 cdot 21 + 2 cdot (-6) = 148 — 147 — 12 = -11
Находим матрицу алгебраических дополнений CC, вычисляя детерминанты для каждой из 9 миноров, а затем транспонируем её.
Вычисляем обратную матрицу A−1A^{-1}, умножая транспонированную матрицу на 1−11frac{1}{-11}.
Заключение
Процесс нахождения обратной матрицы для матрицы 3×33 times 3 включает вычисление детерминанта, алгебраических дополнений, их транспонирование и умножение на 1det(A)frac{1}{det(A)}. Если на практике вам нужно будет решить это задание, то лучше всего использовать либо калькулятор, либо программные средства (например, Python или MATLAB), так как вручную это может быть довольно трудоемко.
