как вычитать числа в двоичной системе счисления

Чтобы понять, как вычитать числа в двоичной системе счисления, нужно освоить несколько основных принципов. Мы будем опираться на те же правила, что и в десятичной системе, но с учетом особенностей двоичной системы.

Шаг 1: Основы двоичной системы счисления

В двоичной системе используются только две цифры: 0 и 1. Каждое число представляется как последовательность этих цифр, где каждая цифра называется битом. Число в двоичной системе счисления имеет основание 2, и каждый бит в числе представляет собой степень двойки.

Пример:

• $1101_2$ (двоичное) = $1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+4+0+1=13_{10}$ (десятичное).

Шаг 2: Основы вычитания в двоичной системе

Вычитание в двоичной системе работает по тем же принципам, что и в десятичной, но с некоторыми отличиями. Напоминаем основные правила:

1. $0-0=0$

2. $1-0=1$

3. $1-1=0$

4. $0-1$ не может быть выполнено напрямую, потому что 0 меньше 1. Для этого мы используем операцию заимствования (также называемую заимствование или кресление).

Шаг 3: Пример вычитания двоичных чисел

Рассмотрим пример:

1001_2 — 0101_2

1. Запишем числа по столбцам:

   yaml
   КопироватьРедактировать
   1001
   

• 0101

markdown
КопироватьРедактировать

2. Начнем вычитание справа налево.

- **1 - 1** = 0, записываем 0.
- **0 - 0** = 0, записываем 0.
- **0 - 1** не можем выполнить, так как 0 меньше 1. Поэтому заимствуем единицу у следующего разряда. В двоичной системе для заимствования уменьшаем разряд на 1 и добавляем 2 (два в двоичной системе). Теперь мы должны вычесть **10 - 1** (что эквивалентно 2 - 1 в десятичной системе). Получается 1.
- **1 (после заимствования) - 0** = 1, записываем 1.

В итоге:

1001

• 0101

0100

shell
КопироватьРедактировать

Таким образом, ( 1001_2 - 0101_2 = 0100_2 ).

### Шаг 4: Алгоритм вычитания в двоичной системе

1. Записать два числа под друг другом, выравнив их по разрядам.
2. Вычитать биты по столбцам, начиная справа налево.
3. Если результат вычитания в каком-то разряде будет 0 - 1 (когда верхний бит меньше нижнего), заимствовать единицу из следующего разряда слева.
4. Продолжать процесс, пока не закончатся все биты.

### Шаг 5: Пример с заимствованием

Рассмотрим более сложный пример, где потребуется несколько заимствований.

**11100_2 - 10101_2**

1. Запишем числа:

11100

• 10101

markdown
КопироватьРедактировать

2. Начнем вычитание:

- **0 - 1** не можем вычесть, заимствуем 1 у следующего разряда.
- Теперь у нас 10 - 1, результат = 1. Записываем 1.
- **0 - 0** = 0, записываем 0.
- **1 - 1** = 0, записываем 0.
- **1 - 0** = 1, записываем 1.

Результат:

11100

• 10101

00111

diff
КопироватьРедактировать

То есть ( 11100_2 - 10101_2 = 00111_2 ).

### Шаг 6: Применение принципов в сложных случаях

Для более сложных чисел, например, с большим количеством разрядов, алгоритм остается тем же. Однако важно помнить:

- Числа в двоичной системе представляются в степени двойки, и при вычитании важно правильно учитывать заимствования, чтобы сохранить точность.
- Каждый разряд в двоичной системе представляет собой **степень двойки**, и каждый сдвиг влево или вправо влияет на величину числа.