Нахождение производной функции — это основа дифференциального исчисления, и основная цель здесь — узнать, как быстро меняется значение функции в каждой точке. Рассмотрим несколько методов нахождения производных с примерами.
1. Определение производной
Производная функции f(x)f(x) в точке x=ax = a определяется как предел:
f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δxf'(a) = lim_{Delta x to 0} frac{f(a + Delta x) — f(a)}{Delta x}
Этот предел показывает, насколько сильно изменяется функция f(x)f(x) при малых изменениях xx. Если производная существует, это означает, что функция меняется с постоянной скоростью (локально).
2. Основные правила нахождения производных
2.1. Производная суммы функций
Если f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x), то:
f′(x)=g′(x)+h′(x)f'(x) = g'(x) + h'(x)
Пример:
Найдем производную от функции f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x.
Производная от x2x^2 — это 2x2x.
Производная от 3x3x — это 33.
Ответ: f′(x)=2x+3f'(x) = 2x + 3.
2.2. Производная произведения функции и константы
Если f(x)=c⋅g(x)f(x) = c cdot g(x), где cc — константа, то:
f′(x)=c⋅g′(x)f'(x) = c cdot g'(x)
Пример:
Найдем производную от функции f(x)=5x3f(x) = 5x^3.
Константа 55 остается на месте.
Производная от x3x^3 — это 3x23x^2.
Ответ: f′(x)=5⋅3×2=15x2f'(x) = 5 cdot 3x^2 = 15x^2.
2.3. Производная степени функции
Если f(x)=xnf(x) = x^n, где nn — константа, то:
f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n cdot x^{n-1}
Пример:
Найдем производную от функции f(x)=x4f(x) = x^4.
Степень n=4n = 4.
Производная от x4x^4 по формуле: 4×4−1=4x34x^{4-1} = 4x^3.
Ответ: f′(x)=4x3f'(x) = 4x^3.
2.4. Производная от суммы простых функций (правило суммы и разности)
Если f(x)=g(x)−h(x)f(x) = g(x) — h(x), то:
f′(x)=g′(x)−h′(x)f'(x) = g'(x) — h'(x)
Пример:
Найдем производную от функции f(x)=x2−3xf(x) = x^2 — 3x.
Производная от x2x^2 — это 2x2x.
Производная от −3x-3x — это −3-3.
Ответ: f′(x)=2x−3f'(x) = 2x — 3.
2.5. Производная от функции степени
Производная от выражения f(x)=x=x1/2f(x) = sqrt{x} = x^{1/2} считается по правилу степени:
f′(x)=12x−1/2=12xf'(x) = frac{1}{2} x^{-1/2} = frac{1}{2sqrt{x}}
Пример:
Найдем производную от функции f(x)=xf(x) = sqrt{x}.
Ответ: f′(x)=12xf'(x) = frac{1}{2sqrt{x}}.
3. Правила дифференцирования для сложных функций
3.1. Правило цепочки
Если f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x)), то производная от этой функции будет:
f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x) = g'(h(x)) cdot h'(x)
Пример:
Найдем производную функции f(x)=sin(x2)f(x) = sin(x^2).
Внутренняя функция h(x)=x2h(x) = x^2, её производная h′(x)=2xh'(x) = 2x.
Внешняя функция g(x)=sin(x)g(x) = sin(x), её производная g′(x)=cos(x)g'(x) = cos(x).
По правилу цепочки:
f′(x)=cos(x2)⋅2xf'(x) = cos(x^2) cdot 2x
Ответ: f′(x)=2xcos(x2)f'(x) = 2x cos(x^2).
3.2. Производная от функции обратной
Если функция имеет вид f(x)=1g(x)f(x) = frac{1}{g(x)}, то её производная будет:
f′(x)=−g′(x)[g(x)]2f'(x) = -frac{g'(x)}{[g(x)]^2}
Пример:
Найдем производную от функции f(x)=1x2f(x) = frac{1}{x^2}.
Производная от x2x^2 — это 2x2x.
Применяя правило, получаем:
f′(x)=−2xx4=−2x3f'(x) = -frac{2x}{x^4} = -frac{2}{x^3}
Ответ: f′(x)=−2x3f'(x) = -frac{2}{x^3}.
4. Примеры для закрепления
Пример 1: Нахождение производной от сложной функции
Найдем производную от функции f(x)=3×4−5×3+2x−7f(x) = 3x^4 — 5x^3 + 2x — 7.
Производная от 3x43x^4 — это 12x312x^3.
Производная от −5×3-5x^3 — это −15×2-15x^2.
Производная от 2x2x — это 22.
Производная от −7-7 (постоянная) — это 00.
Ответ: f′(x)=12×3−15×2+2f'(x) = 12x^3 — 15x^2 + 2.
Пример 2: Производная сложной функции с использованием цепочки
Найдем производную от функции f(x)=e3x2f(x) = e^{3x^2}.
Внешняя функция g(x)=exg(x) = e^x, её производная g′(x)=exg'(x) = e^x.
Внутренняя функция h(x)=3x2h(x) = 3x^2, её производная h′(x)=6xh'(x) = 6x.
По правилу цепочки:
f′(x)=e3x2⋅6xf'(x) = e^{3x^2} cdot 6x
Ответ: f′(x)=6xe3x2f'(x) = 6x e^{3x^2}.
Эти правила и примеры охватывают основы нахождения производной. Важно практиковать различные виды функций, чтобы быстрее запомнить методы и уметь эффективно находить производные в любой ситуации. Если хочешь, могу показать более сложные примеры или дать рекомендации для тренировки.
