какие две величины называют прямо пропорциональными

Два числа или величины называют прямо пропорциональными, если их отношение всегда остается постоянным. Это означает, что при изменении одной из этих величин, другая также изменяется в определённой фиксированной пропорции.

Формальное определение

Если величины $x$ и $y$ прямо пропорциональны, то это можно записать как:

$$y=k\cdot x$$

где:

• $y$ — зависимая величина,

• $x$ — независимая величина,

• $k$ — константа пропорциональности, то есть число, которое не меняется, если $x$ и $y$ изменяются в пропорциональной зависимости.

Константа $k$ характеризует, насколько сильно изменяется величина $y$ при изменении $x$. Её можно вычислить, если известны значения $x$ и $y$:

$$k=\frac{y}{x}$$

Характеристики прямой пропорциональности:

1. Линейная зависимость: График зависимости двух прямо пропорциональных величин представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (если $x=0$, то и $y=0$).

   Например, если $y=2x$, то при $x=0$ будет $y=0$, при $x=1$ будет $y=2$, при $x=2$ будет $y=4$, и так далее.

2. Пропорциональные изменения: Если величины прямо пропорциональны, то если одна из них увеличивается в два раза, другая также увеличится в два раза. Например, если $y=3x$, то когда $x$ увеличивается в два раза, $y$ также увеличивается в два раза. Это сохраняется для любых изменений.

3. Постоянство отношения: Важно, что при любых изменениях величин $x$ и $y$ их отношение остается неизменным. То есть, если $y_1=k\cdot x_1$ и $y_2=k\cdot x_2$, то

   $$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=k$$

   Это означает, что если одна величина изменится, то другая изменится пропорционально так, чтобы сохранялось это отношение.

Примеры прямо пропорциональных величин:

1. Скорость и расстояние при постоянной скорости. Если автомобиль движется со скоростью $v$, то пройденное расстояние $s$ будет прямо пропорционально времени $t$, то есть $s=v\cdot t$. Чем больше время, тем больше расстояние, при этом скорость остается постоянной.

2. Масса и объем вещества при постоянной плотности. Если плотность вещества постоянна, то масса вещества $m$ прямо пропорциональна его объему $V$, то есть $m=\rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность вещества. Если объем увеличивается в два раза, то масса также увеличится в два раза.

3. Цена и количество товара. Если цена за единицу товара фиксирована, то общая цена $P$ будет прямо пропорциональна количеству $Q$ купленных товаров. То есть, $P=p\cdot Q$, где $p$ — цена за единицу товара.

Пример из повседневной жизни:

Представьте, что вы покупаете яблоки по цене $100$ рублей за килограмм. Если вы купите 2 килограмма яблок, цена составит $100\times 2=200$ рублей. Это пример прямой пропорциональности, где цена пропорциональна количеству яблок.

Математическое доказательство:

Предположим, что величины $x$ и $y$ прямо пропорциональны с константой $k$. Тогда мы можем записать:

$$y=k\cdot x$$

Если значения $x$ и $y$ изменятся, то новое соотношение будет:

$$y^{\prime }=k\cdot x^{\prime }$$

Таким образом, изменение одной величины $x$ вызовет пропорциональное изменение величины $y$.

Противоположность:

Прямо пропорциональными величинами являются величины, которые изменяются в одинаковой пропорции. Противоположное понятие — это обратная пропорциональность. Величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной величины другая уменьшается так, что их произведение остается постоянным:

$$y=\frac{k}{x}$$

Примером обратной пропорциональности является зависимость времени и скорости при движении с постоянным расстоянием: если скорость увеличивается, то время, необходимое для преодоления определенного расстояния, уменьшается.

Заключение:

Прямо пропорциональные величины — это величины, которые изменяются в одной и той же пропорции, сохраняя постоянное отношение между собой. Это одно из самых простых и интуитивно понятных математических понятий, часто встречающееся в разных сферах жизни, от физики до экономики.