как вынести множитель из под знака корня

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно понимать свойства корня и операций с ними. В этом ответе я подробно разберу, как это делается, а также приведу примеры для лучшего понимания.

Шаги для выноса множителя из-под знака корня

1. Основное свойство квадратного корня:

   Для любых чисел $a$ и $b$, где $a\ge 0$ и $b\ge 0$, выполняется следующее свойство:

   $$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$

   Это свойство позволяет разложить корень из произведения двух чисел на произведение корней каждого числа.

2. Как вынести множитель?
   Если у вас есть выражение типа $\sqrt{m\cdot n}$, то вы можете вынести $m$ и $n$ как отдельные корни:

   $$\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot \sqrt{n}$$

   Если же у вас есть множитель в виде $m\cdot \sqrt{n}$, то можно выделить множитель из-под корня с помощью свойства:

   $$\sqrt{m\cdot n}=\sqrt{m}\cdot \sqrt{n}$$

   и, соответственно:

   $$m\cdot \sqrt{n}=\sqrt{m^2\cdot n}$$

   Но давайте разберемся это более детально на примерах.

Примеры:

1. Пример 1: Вынесение числа из-под корня.

   Пусть у нас есть выражение $\sqrt{4\cdot 9}$.

   • Мы знаем, что $4\cdot 9=36$, значит:

     $$\sqrt{36}=6$$

     Или, по свойству разложения корня:

     $$\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{9}=2\cdot 3=6$$

   Это пример того, как мы можем вынести множители под корня.

2. Пример 2: Вынесение общего множителя из под корня.

   Пусть у нас есть выражение $\sqrt{2x^2}$.

   • Для того чтобы вынести $x^2$ из под корня, используем свойство:

     $$\sqrt{x^2}=x$$

     Получаем:

     $$\sqrt{2x^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{x^2}=\sqrt{2}\cdot x$$

     То есть $\sqrt{2x^2}=x\sqrt{2}$.

3. Пример 3: Вынесение множителей с различными степенями.

   Пусть у нас есть выражение $\sqrt{8x^4}$.

   • Сначала разлагаем $8$ как $4\cdot 2$, а $x^4$ — как $x^2\cdot x^2$:

     $$\sqrt{8x^4}=\sqrt{4\cdot 2\cdot x^2\cdot x^2}$$

   • Используем свойство корня:

     $$\sqrt{4\cdot 2\cdot x^2\cdot x^2}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{x^2}\cdot \sqrt{x^2}$$

   • Мы знаем, что $\sqrt{4}=2$, а $\sqrt{x^2}=x$, и тогда получаем:

     $$2\cdot x\cdot x\cdot \sqrt{2}=2x^2\sqrt{2}$$

   Таким образом, $\sqrt{8x^4}=2x^2\sqrt{2}$.

4. Пример 4: Вынесение множителя с отрицательным числом.

   Пусть у нас есть выражение $\sqrt{-9}$.

   • Из-за отрицательного числа под корнем, результат будет комплексным. Для извлечения квадратного корня из отрицательного числа используем $i$, мнимую единицу:

     $$\sqrt{-9}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{-1}=3i$$

     В этом случае $\sqrt{-9}=3i$.

Алгоритм для выноса множителя:

1. Разделите выражение под корнем на отдельные множители.

2. Для каждого множителя, если это возможно, извлеките квадратный корень.

3. Умножьте извлеченные корни (или вынесенные множители) друг на друга.

4. Остальные множители, которые не могут быть извлечены из под корня, оставьте под знаком корня.

Примечание:

Не забывайте, что вынос множителей возможен только в том случае, если они представляют собой полные квадраты, то есть такие числа, которые можно извлечь из под корня (например, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{x^2}=x$).

Если что-то осталось непонятным или есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!