что такое пропорция в математике 6 класс

Пропорция в математике — это равенство двух отношений. Это важная концепция, которую часто изучают в 6 классе, и она позволяет решать множество задач, связанных с величинами и их взаимосвязями.

1. Что такое отношение?

Прежде чем понять, что такое пропорция, нужно разобраться, что такое отношение.

Отношение двух величин (например, чисел или объектов) — это способ выразить, насколько одно число больше или меньше другого. Обычно отношение записывается как дробь. Например, если два числа 4 и 2, то их отношение можно записать как:

$$\frac{4}{2}=2$$

Это означает, что 4 в два раза больше, чем 2.

2. Пропорция как равенство отношений

Пропорция — это равенство двух отношений. Это означает, что два отношения, которые записываются как дроби, равны между собой. Пропорция выглядит так:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Здесь:

• $a$, $b$, $c$, $d$ — это числа или величины.

• Пропорция говорит, что отношение $a$ к $b$ такое же, как отношение $c$ к $d$.

Пример пропорции:

Предположим, у нас есть пропорция:

$$\frac{4}{6}=\frac{8}{12}$$

Здесь можно сказать, что 4 относится к 6 так же, как 8 к 12. Если вы упростите обе дроби, то увидите, что обе равны $\frac{2}{3}$, что подтверждает, что пропорция правильная.

3. Как решать пропорции?

Решать пропорции обычно нужно, когда одно из чисел неизвестно. Для этого используется перекрестное умножение (метод крест-накрест). Если пропорция выглядит так:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

и нам нужно найти $x$, то можно записать это как:

$$\frac{a}{b}=\frac{x}{d}$$

Теперь перемножим перекрестно:

$$a\cdot d=b\cdot x$$

Затем выразим $x$:

$$x=\frac{a\cdot d}{b}$$

Пример:

Допустим, дана пропорция:

$$\frac{4}{6}=\frac{x}{12}$$

Нам нужно найти $x$. Перекрестно умножаем:

$$4\cdot 12=6\cdot x$$
$$48=6\cdot x$$

Теперь, чтобы найти $x$, делим обе стороны на 6:

$$x=\frac{48}{6}=8$$

Ответ: $x=8$.

4. Пропорции в реальной жизни

Пропорции часто встречаются в повседневной жизни, например:

• Рецепты: если в рецепте указано, что для 4 порций нужно 200 г сахара, то для 2 порций нужно столько же сахара в пропорции.

• Масштаб на картах: если на карте 1 см соответствует 10 км в реальной жизни, то 3 см на карте будут соответствовать 30 км в реальности.

• Скидки в магазинах: например, если на товар в 500 г скидка 20%, то для товара в 1 кг скидка будет в два раза больше (40%).

5. Основные свойства пропорций

• Перекрестное умножение — самый основной метод решения пропорций.

• Среднее пропорциональное — если дана пропорция вида:

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$$

то $b$ в данной пропорции называется средним пропорциональным. Это значит, что $b$ будет равно корню квадратному из произведения $a$ и $c$:

$$b=\sqrt{a\cdot c}$$

6. Задачи на пропорции

1. Пример задачи:
   Известно, что за 5 часов машина прошла 180 км. Сколько километров она пройдет за 8 часов при том же режиме работы?

   Рассмотрим пропорцию:

   $$\frac{180}{5}=\frac{x}{8}$$

   Перекрестное умножение:

   $$180\cdot 8=5\cdot x$$
   $$1440=5\cdot x$$

   $x=\frac{1440}{5}=288$

   Ответ: машина пройдет 288 км за 8 часов.

2. Другой пример задачи:
   В классе 24 ученика, из них 16 — мальчики. Сколько мальчиков будет в классе, если в нем будет 30 учеников?

   Пропорция:

   $$\frac{16}{24}=\frac{x}{30}$$

   Перекрестное умножение:

   $$16\cdot 30=24\cdot x$$
   $$480=24\cdot x$$

   $x=\frac{480}{24}=20$

   Ответ: в классе будет 20 мальчиков.

Заключение

Пропорции — это очень важная и полезная тема в математике, которая помогает решать различные задачи, связанные с взаимосвязью величин. Главное правило решения пропорций — это умение использовать перекрестное умножение. В реальной жизни пропорции встречаются повсюду, и умение работать с ними может облегчить выполнение различных расчетов.