как разложить на множители квадратный трехчлен

Разложение квадратного трехчлена на множители — это процесс нахождения таких множителей, которые в результате умножения дают исходное выражение. Рассмотрим пошагово, как это сделать.

1. Общая форма квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен имеет вид:

$$a{x}^2+bx+c$$

где $a$, $b$, и $c$ — коэффициенты (числа), а $x$ — переменная.

2. Условия для разложения

Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, нам нужно найти такие два числа, которые удовлетворяют следующим условиям:

• Их произведение равно $a\cdot c$ (произведение первого и последнего коэффициентов).

• Их сумма равна $b$ (коэффициенту при $x$).

Если такие числа $m$ и $n$ существуют, то мы можем разложить квадратный трехчлен на множители.

3. Алгоритм разложения на множители

Шаг 1: Найдем числа, которые удовлетворяют условиям

• Найдем произведение $a\cdot c$.

• Поищем такие числа $m$ и $n$, которые:

  • $m\cdot n=a\cdot c$,

  • $m+n=b$.

Шаг 2: Разложим средний член на два слагаемых

После того как мы нашли такие числа $m$ и $n$, заменяем средний член $bx$ на $mx+nx$. То есть, представляем квадратный трехчлен в виде:

$$a{x}^2+mx+nx+c.$$

Шаг 3: Группировка и вынос общего множителя

Теперь группируем первые два и последние два слагаемых:

$$(a{x}^2+mx)+(nx+c).$$

В каждой группе выносим общий множитель:

$$x(ax+m)+1(nx+c).$$

Шаг 4: Разделение на множители

Если все сделано правильно, то в скобках окажется одинаковый выражение. Например:

$$x(ax+m)+1(nx+c).$$

Теперь мы можем записать разложение на множители:

$$(ax+m)(bx+c).$$

4. Пример

Возьмем квадратный трехчлен:

$$6x^2+11x+3.$$

Шаги:

1. Найдем произведение $a\cdot c=6\cdot 3=18$.

2. Найдем два числа, которые в сумме дают $b=11$, а в произведении — $18$. Это числа $2$ и $9$, потому что $2+9=11$, а $2\cdot 9=18$.

3. Разделим средний член на два слагаемых:

   $$6x^2+2x+9x+3.$$

4. Группируем и выносим общий множитель:

   $$(6x^2+2x)+(9x+3)=2x(3x+1)+3(3x+1).$$

5. Вынесем общий множитель $(3x+1)$:

   $$(3x+1)(2x+3).$$

Итак, разложение квадратного трехчлена $6x^2+11x+3$ на множители:

$$(3x+1)(2x+3).$$

5. Когда разложение невозможно

Если такие числа $m$ и $n$, которые удовлетворяют условиям, не существуют, то квадратный трехчлен нельзя разложить на множители с рациональными коэффициентами. В таком случае, вам нужно использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни уравнения и разложить его с использованием корней (через $(x-x_1)(x-x_2)$).

6. Формула дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$\Delta =b^2-4ac.$$

Если $\Delta >0$, то у уравнения два различных корня, и можно разложить его на множители:

$$a(x-x_1)(x-x_2),$$

где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Если $\Delta =0$, то у уравнения один корень, и разложение будет иметь вид:

$$a(x-x_1{)}^2.$$

Если $\Delta <0$, то у уравнения нет действительных корней, и разложение невозможо в области действительных чисел.

Если у тебя есть конкретный квадратный трехчлен, который ты хочешь разложить, можешь написать его, и я помогу с разложением!