Решение уравнений третьей степени (так называемых кубических уравнений) — это интересная, но достаточно объемная тема. Давай разберём всё по порядку.
📘 1. Что такое уравнение третьей степени?
Общий вид кубического уравнения:
ax3+bx2+cx+d=0,a≠0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, quad a neq 0
Где:
a,b,c,da, b, c, d — числа (коэффициенты),
xx — переменная.
🧩 2. Методы решения кубических уравнений
Существует несколько способов решения:
Вынос за скобку / разложение на множители
Подбор целых корней (метод рациональных корней)
Формула Кардано (универсальный метод)
Замена переменной
Графический метод (проверка количества корней и их примерное значение)
📍 Разберём каждый способ подробно:
🔹 2.1 Метод выноса за скобку
Если уравнение имеет общий множитель, вынеси его:
Пример:
x3+2×2+x=0x^3 + 2x^2 + x = 0
Вынесем xx:
x(x2+2x+1)=0x(x^2 + 2x + 1) = 0
Теперь уравнение распадается:
x=0илиx2+2x+1=0x = 0 quad text{или} quad x^2 + 2x + 1 = 0
Решаем квадратное:
x2+2x+1=(x+1)2=0⇒x=−1x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0 Rightarrow x = -1
Ответ: x=0x = 0, x=−1x = -1
🔹 2.2 Метод рациональных корней (метод подбора)
Если нет очевидного выноса за скобку, попробуй подставить значения: ±1,±2,±3,…pm1, pm2, pm3, ldots
Для уравнения:
x3−6×2+11x−6=0x^3 — 6x^2 + 11x — 6 = 0
Попробуем подставить x=1x = 1:
13−6(1)2+11(1)−6=1−6+11−6=0⇒x=1 — корень.1^3 — 6(1)^2 + 11(1) — 6 = 1 — 6 + 11 — 6 = 0
Rightarrow x = 1 text{ — корень.}
Теперь делим многочлен на (x−1)(x — 1):
Можно использовать схему Горнера или столбиком. После деления останется квадратный многочлен — его решаем обычным способом.
🔹 2.3 Формула Кардано (для общего кубического уравнения)
Если никакие методы не работают, применяют формулу Кардано. Но сначала приводят уравнение к приведенному виду (без квадрата):
x3+px+q=0x^3 + px + q = 0
Для этого делают замену:
x=y−b3ax = y — frac{b}{3a}
После подстановки получается уравнение без члена y2y^2:
y3+py+q=0y^3 + py + q = 0
Формула Кардано:
Если уравнение имеет вид:
y3+py+q=0y^3 + py + q = 0
Решение:
y=−q2+(q2)2+(p3)33+−q2−(q2)2+(p3)33y = sqrt[3]{- frac{q}{2} + sqrt{ left( frac{q}{2} right)^2 + left( frac{p}{3} right)^3 }} +
sqrt[3]{- frac{q}{2} — sqrt{ left( frac{q}{2} right)^2 + left( frac{p}{3} right)^3 }}
Это выражение может быть сложным, особенно если подкоренное выражение — отрицательное (будут комплексные корни).
🔍 3. Пошаговый пример с формулой Кардано
Рассмотрим уравнение:
x3−3x+1=0x^3 — 3x + 1 = 0
Это уже приведенное уравнение, можно сразу применять формулу:
Здесь:
p=−3p = -3
q=1q = 1
Считаем дискриминант:
Δ=(q2)2+(p3)3=(12)2+(−1)3=14−1=−34Delta = left(frac{q}{2}right)^2 + left(frac{p}{3}right)^3 =
left(frac{1}{2}right)^2 + left(-1right)^3 = frac{1}{4} — 1 = -frac{3}{4}
Так как дискриминант отрицательный, будут три вещественных корня, выражающиеся через тригонометрию:
x=2−p3cos(13arccos(3q2p−3p))x = 2sqrt{-frac{p}{3}} cos left( frac{1}{3} arccos left( frac{3q}{2p} sqrt{-frac{3}{p}} right) right)
Можно использовать калькулятор или компьютер для численного решения.
🔹 2.4 Замена переменной
Если ты видишь, например, только нечётные степени:
x3+3x=0x^3 + 3x = 0
Тогда можно вынести:
x(x2+3)=0x(x^2 + 3) = 0
И решить.
🔹 2.5 Графический метод
Построй график функции f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d — точки пересечения с осью xx — это корни.
📌 Итоговая стратегия
Приведи уравнение к общему виду: ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
Попробуй вынести общий множитель или разложить на множители.
Подставь рациональные числа (±1, ±2, ±3…) — может найдешь корень.
Раздели уравнение и реши оставшийся квадрат.
Если не получается — применяй формулу Кардано.
Используй график или численное решение (калькулятор), если сложно аналитически.
Если у тебя есть конкретный пример уравнения, напиши — я разберу его полностью!
