как вычитать дроби с разными знаменателями и числителями

Для того чтобы вычесть дроби с разными знаменателями и числителями, нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим процесс пошагово с примером.

Шаг 1. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы вычесть дроби, у которых разные знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это число, которое будет делителем и для первого, и для второго знаменателя. Для этого обычно используется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

Пример:

Предположим, нужно вычесть дроби:

$$\frac{3}{4}-\frac{2}{5}$$

1. Находим НОК знаменателей. Знаменатели у нас 4 и 5.

   • 4 = $2^2$

   • 5 = простое число.

НОК этих чисел — это их произведение:

$$НОК(4,5)=4\times 5=20$$

2. Приводим обе дроби к общему знаменателю. Для этого нужно умножить числители и знаменатели дробей так, чтобы знаменатели стали равными 20.

• Для первой дроби $\frac{3}{4}$ умножаем числитель и знаменатель на 5:

  $$\frac{3}{4}=\frac{3\times 5}{4\times 5}=\frac{15}{20}$$

• Для второй дроби $\frac{2}{5}$ умножаем числитель и знаменатель на 4:

  $$\frac{2}{5}=\frac{2\times 4}{5\times 4}=\frac{8}{20}$$

Теперь у нас есть две дроби с одинаковым знаменателем:

$$\frac{15}{20}-\frac{8}{20}$$

Шаг 2. Вычитание дробей

Когда дроби имеют одинаковые знаменатели, вычитаем только числители, а знаменатель оставляем без изменений:

$$\frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{15-8}{20}=\frac{7}{20}$$

Ответ:

$$\frac{3}{4}-\frac{2}{5}=\frac{7}{20}$$

Шаг 3. Упрощение результата (если нужно)

После вычитания дробей иногда можно упростить результат, если числитель и знаменатель имеют общий делитель. В нашем примере дробь $\frac{7}{20}$ уже находится в несократимой форме, потому что 7 и 20 не имеют общих делителей (кроме 1).

Общий алгоритм вычитания дробей:

1. Находим НОК знаменателей.

2. Приводим дроби к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3. Вычитаем числители, оставляя общий знаменатель.

4. Если возможно, упрощаем полученную дробь.

Дополнительные примеры:

1. $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$

• Знаменатели: 6 и 3. НОК(6, 3) = 6.

• Приводим дроби:

  $$\frac{5}{6}\text{ остается }\frac{5}{6}$$
  $$\frac{1}{3}=\frac{1\times 2}{3\times 2}=\frac{2}{6}$$

• Теперь вычитаем:

  $$\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{5-2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

2. $\frac{7}{8}-\frac{3}{10}$

• Знаменатели: 8 и 10. НОК(8, 10) = 40.

• Приводим дроби:

  $$\frac{7}{8}=\frac{7\times 5}{8\times 5}=\frac{35}{40}$$
  $$\frac{3}{10}=\frac{3\times 4}{10\times 4}=\frac{12}{40}$$

• Теперь вычитаем:

  $$\frac{35}{40}-\frac{12}{40}=\frac{35-12}{40}=\frac{23}{40}$$

Советы:

1. Если числители и знаменатели очень большие, для нахождения НОК можно воспользоваться методом разложения на простые множители.

2. Если дроби с разными знаменателями, сначала определите их НОК, а потом уже делайте преобразования.