какие числа имеют равные модули

Числа с равными модулями — это такие числа, которые имеют одинаковую величину, но могут отличаться знаком. Модуль числа — это его абсолютное значение, то есть, расстояние от числа до нуля на числовой оси. Модуль всегда неотрицателен, независимо от того, положительное или отрицательное число.

Определение модуля

Модуль числа $x$ обозначается как $|x|$ и определяется следующим образом:

• Если $x\ge 0$, то $|x|=x$.

• Если $x<0$, то $|x|=-x$ (модуль всегда положительный).

Таким образом, $|x|$ всегда даёт неотрицательное значение.

Числа с равными модулями

Предположим, у нас есть два числа $a$ и $b$, которые имеют равные модули, то есть:

$$|a|=|b|.$$

Это означает, что величины этих чисел по абсолютному значению одинаковы, но сами числа могут отличаться знаком. Рассмотрим несколько примеров:

1. Пример 1:
   Пусть $a=3$ и $b=-3$.

   $$|3|=3\text{и}|-3|=3.$$

   Оба числа имеют одинаковое абсолютное значение, то есть равные модули.

2. Пример 2:
   Пусть $a=5$ и $b=-5$.

   $$|5|=5\text{и}|-5|=5.$$

   Эти числа также имеют одинаковые модули.

3. Пример 3:
   Пусть $a=0$ и $b=0$.

   $$|0|=0\text{и}|0|=0.$$

   Даже ноль имеет одинаковый модуль, но в этом случае оба числа идентичны.

Геометрическое толкование

На числовой оси модуль числа $x$ представляет собой расстояние от числа до нуля, независимо от того, в какую сторону от нуля находится это число. Поэтому два числа с одинаковыми модулями будут располагаться на одинаковом расстоянии от нуля, но с разных сторон:

• Число $x=3$ находится на расстоянии 3 единиц вправо от нуля.

• Число $x=-3$ находится на расстоянии 3 единиц влево от нуля.

Эти два числа имеют одинаковые модули, но разные знаки.

Формальное математическое выражение

Если для двух чисел $a$ и b выполнено равенство ( |a| = |b|, то это означает одно из следующих условий:

1. $a=b$,

2. $a=-b$.

То есть, либо оба числа равны, либо одно из них является отрицательным значением другого.

Примеры чисел с одинаковыми модулями

1. $a=8$, $b=-8$ — эти два числа имеют равные модули, потому что $|8|=8$ и $|-8|=8$.

2. $a=-12$, $b=12$ — равные модули: $|-12|=12$, $|12|=12$.

3. $a=0.5$, $b=-0.5$ — равные модули: $|0.5|=0.5$, $|-0.5|=0.5$.

4. $a=100$, $b=-100$ — равные модули: $|100|=100$, $|-100|=100$.

Заключение

Числа с равными модулями всегда противоположны по знаку, за исключением случая с нулём, где число само по себе имеет модуль, равный нулю. Это объясняется тем, что модуль числа — это всегда его абсолютное значение, а числа с одинаковым абсолютным значением могут различаться только знаком.