как возвести степень в степень

Возведение степени в степень — это математическая операция, которая встречается в алгебре, и которая может выглядеть немного сложной на первый взгляд, но на самом деле, она подчиняется довольно простым правилам. Давай разберем это пошагово.

Что значит «возвести степень в степень»?

Когда ты сталкиваешься с выражением типа $a^m)^n$ , где $a$ — это основание, а $m$ и $n$ — показатели степени, нужно понять, что на самом деле происходит с числом в таком случае.

Основная идея: Возведение степени в степень можно упростить, используя свойство степеней.

Правило для возведения степени в степень:

Если $a^m)^n$ , то это равняется $am⋅na^{m cdot n}$ . То есть, для того чтобы возвести степень в степень, нужно умножить показатели степени между собой.

Пример 1:
Возьмем выражение $x^3)^4$ . Мы можем это упростить, умножив показатели степеней:

$(x3)4=x3⋅4=x12(x^3)^4 = x^{3 cdot 4} = x^{12}$

Здесь произошло следующее: вместо того чтобы вычислять степень по шагам, мы сразу умножили показатели, получив более простое выражение.

Пример 2:
Теперь возьмем $2^5)^2$ . По тому же правилу:

$(25)2=25⋅2=210(2^5)^2 = 2^{5 cdot 2} = 2^{10}$

Этот же принцип работает, независимо от того, насколько сложные показатели степеней.

Почему это работает?

Представь себе выражение $a^m)^n$ . Раскроем его на более понятном уровне:

$раз)(a^m)^n = a^m cdot a^m cdot dots cdot a^m quad text{(n раз)}$

Когда мы умножаем одно и то же основание $a^m$ несколько раз, мы применяем свойство степеней, которое гласит, что при умножении степеней с одинаковым основанием показатели нужно складывать. Если таких множителей $n$ , то мы получаем:

$am+m+⋯+m=am⋅na^{m + m + dots + m} = a^{m cdot n}$

Важные моменты:

При этом основание должно быть одинаковым. Например, выражение $2^3)^4$ корректно, а вот $2^3 + 3)^4$ уже не будет работать по такому принципу.
Это правило работает не только для целых чисел, но и для дробных, отрицательных, и даже для выражений с переменными.

Пример с дробными показателями:

Скажем, у нас есть выражение $x^{1/2})^3$ . Это можно упростить так:

$(x1/2)3=x(1/2)⋅3=x3/2(x^{1/2})^3 = x^{(1/2) cdot 3} = x^{3/2}$

И наоборот, если бы было что-то вроде $x^{3/2})^2$ , то:

$(x3/2)2=x(3/2)⋅2=x3(x^{3/2})^2 = x^{(3/2) cdot 2} = x^3$

Пример с отрицательными показателями:

Если мы возьмем $2^{-3})^4$ , то получим:

$(2−3)4=2−3⋅4=2−12(2^{-3})^4 = 2^{-3 cdot 4} = 2^{-12}$

То же самое правило работает для отрицательных показателей степени. Важно помнить, что отрицательные показатели означают обратное число, например, $2−3=1232^{-3} = frac{1}{2^3}$ .

Пример с переменными:

Если у нас есть выражение типа $x^a)^b$ , то применяем правило:

$(xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a cdot b}$

Так что, если $x^3)^4$ , то это будет $x^{12}$ . Или если $y^2)^5$ , то это $y^{10}$ .

Итоги:

Основное правило: $(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m cdot n}$ .
Умножение показателей степени — это главный шаг, чтобы упростить выражение.
Это правило работает как для положительных, так и для отрицательных, дробных и переменных показателей.

Если что-то осталось неясным или нужны примеры с конкретными числами или переменными, не стесняйся уточнять!