Теорема Виета — это мощный инструмент для работы с квадратными уравнениями. Она позволяет находить связи между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, что упрощает решение многих задач. Давайте разберем все шаги и принципы, как работать с теоремой Виета на примере квадратного уравнения.
Теорема Виета
Пусть у нас есть квадратное уравнение:
ax2+bx+c=0,ax^2 + bx + c = 0,
где aa, bb, и cc — коэффициенты уравнения, а x1x_1 и x2x_2 — его корни.
Теорема Виета утверждает, что для любого квадратного уравнения:
Сумма корней уравнения равна отрицательному отношению коэффициента при xx (то есть bb) к коэффициенту при x2x^2 (то есть aa):
x1+x2=−ba.x_1 + x_2 = -frac{b}{a}.
Произведение корней равно отношению свободного члена (коэффициента cc) к коэффициенту при x2x^2 (коэффициенту aa):
x1⋅x2=ca.x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}.
Пошаговое объяснение
Теперь давайте подробно разберем, как применять теорему Виета при решении уравнений.
Шаг 1. Определяем коэффициенты
Для начала нам нужно записать уравнение в стандартной форме ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. После этого мы определяем коэффициенты aa, bb и cc.
Пример:
2×2−4x−6=0.2x^2 — 4x — 6 = 0.
Здесь:
a=2a = 2,
b=−4b = -4,
c=−6c = -6.
Шаг 2. Используем теорему Виета
Теперь, зная коэффициенты, можем применить теорему Виета для нахождения корней уравнения.
Сумма корней:
Согласно теореме Виета, сумма корней x1x_1 и x2x_2 равна:
x1+x2=−ba=−−42=2.x_1 + x_2 = -frac{b}{a} = -frac{-4}{2} = 2.
Произведение корней:
Также согласно теореме Виета, произведение корней x1x_1 и x2x_2 равно:
x1⋅x2=ca=−62=−3.x_1 cdot x_2 = frac{c}{a} = frac{-6}{2} = -3.
Таким образом, мы получаем два уравнения:
x1+x2=2иx1⋅x2=−3.x_1 + x_2 = 2 quad text{и} quad x_1 cdot x_2 = -3.
Шаг 3. Используем систему для нахождения корней
Теперь, чтобы найти сами корни x1x_1 и x2x_2, мы можем решить систему:
{x1+x2=2,x1⋅x2=−3.begin{cases}
x_1 + x_2 = 2, \
x_1 cdot x_2 = -3.
end{cases}
Для этого, например, можно выразить x2x_2 через x1x_1 из первого уравнения:
x2=2−x1.x_2 = 2 — x_1.
Подставим это в второе уравнение:
x1⋅(2−x1)=−3,x_1 cdot (2 — x_1) = -3,
раскроем скобки:
2×1−x12=−3.2x_1 — x_1^2 = -3.
Преобразуем уравнение в стандартную форму:
x12−2×1−3=0.x_1^2 — 2x_1 — 3 = 0.
Это уже квадратное уравнение, которое можно решить по формуле дискриминанта.
Шаг 4. Находим корни квадратного уравнения
Для уравнения x12−2×1−3=0x_1^2 — 2x_1 — 3 = 0 находим дискриминант:
D=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=4+12=16.D = (-2)^2 — 4 cdot 1 cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
Корни уравнения:
x1=−(−2)±162⋅1=2±42.x_1 = frac{-(-2) pm sqrt{16}}{2 cdot 1} = frac{2 pm 4}{2}.
Таким образом, получаем два корня:
x1=2+42=3илиx1=2−42=−1.x_1 = frac{2 + 4}{2} = 3 quad text{или} quad x_1 = frac{2 — 4}{2} = -1.
Подставляем эти значения в x2=2−x1x_2 = 2 — x_1:
Если x1=3x_1 = 3, то x2=2−3=−1x_2 = 2 — 3 = -1,
Если x1=−1x_1 = -1, то x2=2−(−1)=3x_2 = 2 — (-1) = 3.
Итак, корни уравнения 2×2−4x−6=02x^2 — 4x — 6 = 0 — это x1=3x_1 = 3 и x2=−1x_2 = -1.
Когда использовать теорему Виета?
Теорема Виета полезна в таких случаях:
Когда необходимо найти связи между корнями уравнения, не решая его полностью.
Когда у вас есть информация о сумме и произведении корней, и нужно найти сами корни.
Для решения задач, где требуются только отношения между корнями (например, задачи на нахождение корней через их сумму и произведение).
Заключение
Теорема Виета — это удобный и мощный инструмент для работы с квадратными уравнениями. Она позволяет быстро находить сумму и произведение корней, что значительно упрощает решение различных задач. Если у вас есть конкретные примеры задач, с которыми вы столкнулись, я могу помочь решить их с использованием теоремы Виета!
