как решать системы неравенств 9 класс огэ

Решение систем неравенств — важная часть школьного курса математики, особенно в 9 классе при подготовке к ОГЭ. Ниже — максимально подробное объяснение, как решать такие задачи.

💡 Что такое система неравенств?

Система неравенств — это два или более неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — это множество значений переменной, которые удовлетворяют всем неравенствам сразу.

📌 Типы неравенств, встречающиеся в ОГЭ:

1. Линейные неравенства:
   Пример:

   $$2x-3<5$$

2. Квадратные неравенства:
   Пример:

   $$x^2-5x+6\ge 0$$

3. Системы неравенств:
   Пример:

   $$\{\begin{array}{l}2x-3<5\\ x^2-5x+6\ge 0\end{array}$$

🔧 Алгоритм решения системы неравенств:

✅ Шаг 1: Решить каждое неравенство по отдельности

Разберём, как решаются разные типы неравенств:

1. Линейные неравенства

📌 Пример:

$$2x-3<5$$

Решение:

$$2x<8\Rightarrow x<4$$

2. Квадратные неравенства

📌 Пример:

$$x^2-5x+6\ge 0$$

Решение:

1. Решаем соответствующее квадратное уравнение:

   $$x^2-5x+6=0\Rightarrow x_1=2,x_2=3$$

2. Строим схему на числовой прямой (метод интервалов):

   • Корни делят прямую на 3 интервала:
     $(-\infty ;2)$, $(2;3)$, $(3;+\infty )$

3. Определяем знак на каждом интервале, подставляя тестовую точку:

   • Например:

     • $x=1\Rightarrow (1{)}^2-5(1)+6=2>0$

     • $x=2.5\Rightarrow отрицательно$

     • $x=4\Rightarrow положительно$

4. Окончательный ответ:

   $$x\in (-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$$

✅ Шаг 2: Найти пересечение решений

Теперь нужно найти общее решение — те значения $x$, которые одновременно подходят под оба неравенства.

📌 Пусть:

• Первое неравенство дало: $x<4$

• Второе дало: $x\in (-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$

Пересекаем множества:

$$x<4\text{и}x\in (-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$$

Изобразим на числовой прямой или мысленно:

• $x<4$

• Пересекаем с:

  • $(-\infty ;2]\Rightarrow всёподходит,т.к.\le 2<4$

  • [3; +∞) Rightarrow берём только часть до 4: ([3; 4)

Итоговое решение:

$$x\in (-\infty ;2]\cup [3;4)$$

✏️ Пример задачи из ОГЭ

Решите систему неравенств:

$$\{\begin{array}{l}3x+1\le 10\\ x^2-4x>-3\end{array}$$

1. Решаем первое неравенство:

$$3x\le 9\Rightarrow x\le 3$$

2. Второе неравенство:

$$x^2-4x+3>0$$

• Найдём корни:

  $$x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1,x=3$$

• Интервалы:
  $(-\infty ;1)$, $(1;3)$, $(3;+\infty )$

• Проверка:

  • $x=0\Rightarrow 3>0$

  • $x=2\Rightarrow -1<0$

  • $x=4\Rightarrow 3>0$

• Ответ:

  $$x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$$

3. Пересечение:

• $x\le 3$

• $x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$

Пересекаем:

• Только часть из $(-\infty ;1)$ попадает в область $x\le 3$

• $(3;+\infty )$ не подходит, так как $x>3$

Итог:

$$x\in (-\infty ;1)$$

🧠 Советы для ОГЭ:

1. Решай неравенства по одному.

2. Всегда строй числовую прямую.

3. Будь внимателен с интервалами — особенно при знаках строгости $>,<$ и нестрогости $\ge ,\le$.

4. Записывай ответ в виде объединения или пересечения интервалов.

5. Проверь результат подстановкой чисел из ответа.

Если хочешь, могу дать ещё тренировочные задания, шаблоны оформления, или таблицу ошибок, которые часто делают на ОГЭ.