как найти синус зная косинус

Для того чтобы найти синус угла, зная косинус этого угла, можно использовать основное тригонометрическое тождество. Давай разберем это шаг за шагом.

1. Основное тригонометрическое тождество

Существует важное тождество, которое связывает синус и косинус для любого угла $\theta$:

$${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

Это выражение называется пифагоровым тождеством, и оно выполняется для всех углов $\theta$.

2. Получение синуса из косинуса

Если тебе известен косинус угла $\theta$, то из этого тождества можно выразить синус угла через косинус. Перепишем тождество так:

$${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$$

Теперь, чтобы найти синус, нужно извлечь квадратный корень:

$$\sin (\theta )=\pm \sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}$$

Знак (плюс или минус) зависит от того, в какой четверти находится угол $\theta$.

3. Как определить знак синуса?

Чтобы точно определить, какой из знаков (положительный или отрицательный) взять, нужно учитывать местоположение угла на единичной окружности (или в координатной плоскости).

• Первая четверть (0° до 90° или 0 до $\frac{\pi }{2}$): синус положительный, косинус тоже положительный.

• Вторая четверть (90° до 180° или $\frac{\pi }{2}$ до $\pi$): синус положительный, косинус отрицательный.

• Третья четверть (180° до 270° или $\pi$ до $\frac{3\pi }{2}$): синус отрицательный, косинус отрицательный.

• Четвертая четверть (270° до 360° или $\frac{3\pi }{2}$ до $2\pi$): синус отрицательный, косинус положительный.

Пример:

Если тебе дано, что $\cos (\theta )=0.6$, то:

$${\sin }^2(\theta )=1-0.6^2=1-0.36=0.64$$

Следовательно:

$$\sin (\theta )=\pm \sqrt{0.64}=\pm 0.8$$

Чтобы выбрать правильный знак, нужно знать, в какой четверти находится угол. Например, если угол в первой или второй четверти, синус будет положительным, если в третьей или четвертой — отрицательным.

4. Учёт особенностей углов

• Если угол $\theta$ находится в первой или второй четверти, синус будет положительным.

• Если угол $\theta$ в третьей или четвертой четверти, синус будет отрицательным.

Для того чтобы точнее понять, в какой четверти находится угол, можно воспользоваться дополнительной информацией, например, с помощью диаграмм или значения угла (если оно известно).

Резюме

• Для нахождения синуса из косинуса используй тождество ${\sin }^2(\theta )=1-{\cos }^2(\theta )$.

• Извлекай корень $\sin (\theta )=\pm \sqrt{1-{\cos }^2(\theta )}$.

• Определи знак синуса в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Если у тебя есть конкретный пример, я могу помочь разобрать его!