что такое dim в линейной алгебре

Dim (или dimension, в русском языке часто используется термин «измерение») в линейной алгебре — это ключевое понятие, которое имеет несколько интерпретаций, в зависимости от контекста. Обычно оно связано с понятием размерности пространства или размерности линейной оболочки. Давай разберемся поэтапно, что это такое.

1. Размерность векторного пространства (или линейного пространства)

Для начала определим, что такое векторное пространство. Это множество векторов, для которых определены операции сложения и умножения на скаляры, и эти операции удовлетворяют определенным аксиомам. Примеры векторных пространств — это пространства всех векторов в ${\mathbb{R}}^n$, функции, матрицы и другие.

Размерность векторного пространства (или его dim) — это количество элементов в его базисе (или независимых векторах), то есть минимальное количество векторов, которые можно взять, чтобы линейно выразить все векторы этого пространства.

Пример:

• Пространство ${\mathbb{R}}^3$ состоит из всех векторов вида $(x,y,z)$, где $x,y,z$ — реальные числа. Базис этого пространства состоит из векторов $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ и $(0,0,1)$, так как эти три вектора линейно независимы, и их можно использовать для представления любого вектора в пространстве ${\mathbb{R}}^3$. Таким образом, dim(${\mathbb{R}}^3$) = 3.

• Пространство всех векторов вида $(x,y)$ в ${\mathbb{R}}^2$ имеет базис $(1,0)$ и $(0,1)$, а значит, dim(${\mathbb{R}}^2$) = 2.

2. Линейная независимость и базис

Для понимания размерности важно разобраться с понятием линейной независимости.

• Набор векторов называется линейно независимым, если никакой вектор в этом наборе нельзя представить как линейную комбинацию других векторов из этого набора.

• Базис пространства — это линейно независимый набор векторов, который порождает все пространство. Базис всегда существует для любого векторного пространства (если пространство конечномерно).

Размерность пространства — это количество векторов в базисе. Таким образом, dim векторного пространства $\mathbb{V}$ — это количество векторов в минимальном линейно независимом наборе, который порождает все пространство.

Пример:

Рассмотрим пространство ${\mathbb{R}}^2$, которое состоит из всех векторов вида $(x,y)$. Базисом этого пространства является набор векторов $(1,0)$ и $(0,1)$, так как их линейные комбинации могут породить любой вектор $(x,y)$ в ${\mathbb{R}}^2$. Следовательно, dim(${\mathbb{R}}^2$) = 2.

3. Размерность линейной оболочки (span)

Пусть у нас есть набор векторов $\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}$. Тогда линейная оболочка этих векторов — это множество всех линейных комбинаций этих векторов:

$$\text{span}(v_1,v_2,\dots ,v_k)=\{{\alpha }_1{v}_1+{\alpha }_2{v}_2+\cdots +{\alpha }_k{v}_k\mid {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k\in \mathbb{R}\}.$$

Размерность линейной оболочки набора векторов — это количество векторов в базисе этой оболочки, то есть минимальное количество линейно независимых векторов, которые можно выбрать для порождения всех линейных комбинаций этих векторов.

Пример:

Рассмотрим два вектора $v_1=(1,0)$ и $v_2=(2,0)$ в ${\mathbb{R}}^2$. Линейная оболочка этих векторов — это множество всех векторов вида ${\alpha }_1(1,0)+{\alpha }_2(2,0)=({\alpha }_1+2{\alpha }_2,0)$, то есть все векторы, лежащие на оси $x$ в ${\mathbb{R}}^2$. Здесь линейно независимым вектором является только $v_1$, поэтому размерность этой линейной оболочки равна 1, то есть dim(span(v_1, v_2)) = 1.

4. Размерность пространства матриц

Размерность может также применяться к пространствам матриц. Пространство всех матриц $m\times n$ — это множество всех возможных матриц, состоящих из $m$ строк и $n$ столбцов, где элементы матриц являются числами из некоторого поля (чаще всего из поля действительных чисел $\mathbb{R}$).

Размерность пространства матриц $m\times n$ равна $m\cdot n$, потому что каждая матрица состоит из $m$ строк и $n$ столбцов, и каждый элемент матрицы можно рассматривать как независимую переменную.

Пример:

Пространство всех матриц $2\times 3$ имеет размерность $2\cdot 3=6$, так как каждая такая матрица состоит из 6 элементов.

5. Размерность ядра и образа линейного оператора

Если у нас есть линейный оператор $A$, который действует на векторное пространство $V$, то мы можем рассмотреть два важных понятия, связанных с размерностью:

• Ядро (kernel) линейного оператора $A$ — это множество всех векторов $v$, таких что $A(v)=0$. Размерность ядра называется нулевой размерностью.

• Образ (image) линейного оператора $A$ — это множество всех векторов, которые можно получить как $A(v)$, где $v$ — произвольный вектор из пространства $V$. Размерность образа называется рангом оператора.

Эти два понятия связаны теоремой о ранге и нуле (или теоремой о размере), которая гласит:

$$\text{dim(ядро A)}+\text{dim(образ A)}=\text{dim(пространства V)}.$$

6. Бесконечномерные пространства

В линейной алгебре также рассматриваются бесконечномерные пространства, например, пространство всех непрерывных функций на интервале. Размерность таких пространств может быть либо конечной, либо бесконечной. В случае бесконечномерных пространств понятие размерности также имеет место, хотя оно гораздо сложнее, чем в случае конечномерных пространств.

Пример:

Пространство всех полиномов с действительными коэффициентами — это бесконечномерное пространство, потому что любые полиномы могут быть выражены как линейные комбинации векторов $1,x,x^2,x^3,\dots$, и этот набор бесконечен.

Заключение

Размерность — это фундаментальное понятие в линейной алгебре, которое помогает понять структуру векторных пространств, их базисы и линейные операторы. Это понятие является основой для более глубокого анализа различных математических объектов, таких как решения систем линейных уравнений, спектральные теоремы и многое другое.