что такое синус косинус тангенс котангенс

Синус, косинус, тангенс и котангенс — это основные тригонометрические функции, которые описывают соотношения сторон прямоугольного треугольника относительно углов в нем. Они играют ключевую роль в математике, физике и многих других науках, а также в повседневных вычислениях, например, при изучении волн, колебаний и даже в инженерии. Давайте разберем их по порядку.

1. Синус (sin)

Синус угла — это отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Формула:

$$\sin (\theta )=\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}}$$

Где:

• $\theta$ — это угол в прямоугольном треугольнике (кроме прямого угла).

• Противоположная сторона — это сторона, которая находится напротив угла $\theta$.

• Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника, которая лежит напротив прямого угла.

Пример: Если в прямоугольном треугольнике угол $\theta =30^{\circ }$, а гипотенуза равна 10 единиц, то синус этого угла будет равен отношению длины стороны, противоположной углу, к гипотенузе.

2. Косинус (cos)

Косинус угла — это отношение прилежащей стороны к гипотенузе.

Формула:

$$\cos (\theta )=\frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}$$

Где:

• Прилежащая сторона — это сторона, которая прилегает к углу $\theta$, но не является гипотенузой.

Пример: Для того же угла $\theta =30^{\circ }$, если гипотенуза равна 10 единиц, то косинус этого угла будет равен отношению длины стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе.

3. Тангенс (tan)

Тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу угла. В треугольной интерпретации тангенс — это отношение противоположной стороны к прилежащей стороне.

Формула:

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}=\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}$$

Где:

• Противоположная сторона — сторона, противоположная углу $\theta$.

• Прилежащая сторона — сторона, прилегающая к углу $\theta$, но не являющаяся гипотенузой.

Пример: Если для того же угла $\theta =30^{\circ }$, известны длины противоположной и прилежащей сторон, то тангенс будет равен отношению этих двух длин.

4. Котангенс (cot)

Котангенс — это обратная функция тангенса, то есть отношение косинуса угла к синусу угла. В треугольной интерпретации котангенс — это отношение прилежащей стороны к противоположной стороне.

Формула:

$$\cot (\theta )=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}=\frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{противоположная сторона}}$$

Пример: Если для угла $\theta =30^{\circ }$ известны длины прилежащей и противоположной сторон, котангенс будет равен отношению длины прилежащей стороны к длине противоположной стороны.

Взаимосвязь между функциями

Все эти функции взаимосвязаны через базовые отношения в прямоугольном треугольнике и могут быть выражены друг через друга.

1. $\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$

2. $\cot (\theta )=\frac{1}{\tan (\theta )}=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$

3. ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$ — это знаменитая тригонометрическая тождественность, называемая теоремой Пифагора для тригонометрических функций.

Геометрическое и графическое представление

• Единичная окружность: Если рассматривать тригонометрические функции на графике, то они часто изображаются через единичную окружность. Углы в радианах или градусах откладываются от положительной оси X, и значения синуса и косинуса определяются как координаты точек на окружности. Например, синус угла — это y-координата точки на окружности, а косинус — это x-координата.

  • Синус и косинус колеблются от -1 до 1.

  • Тангенс и котангенс не ограничены по величине и могут стремиться к бесконечности при определенных значениях угла.

Применение в жизни и науке

• Волновые процессы: Синус и косинус используются для описания колебаний, волн (например, звуковых или электромагнитных), поскольку они моделируют периодические изменения во времени.

• Навигация и геодезия: Эти функции помогают вычислять расстояния и направления на больших расстояниях, например, в астрономии или при картографировании.

• Физика: В механике, электричестве, оптике и других областях синус, косинус, тангенс и котангенс играют важную роль при описании различных физических явлений.

Заключение

Синус, косинус, тангенс и котангенс — это не просто абстрактные математические понятия. Они глубоко связаны с геометрией, физикой и другими науками. Эти функции помогают не только решать задачи в прямоугольных треугольниках, но и описывать множество явлений в реальном мире.