как определяется градусная мера дуги как она обозначается

Градусная мера дуги окружности — это величина угла, который образуют два радиуса, проведённые к концам дуги. Она определяется в градусах и является наиболее распространённой единицей измерения углов в геометрии и тригонометрии.

1. Что такое дуга окружности?

Дуга окружности — это часть окружности, ограниченная двумя точками на этой окружности. Два радиуса, проведённые в эти точки, образуют центральный угол, который равен углу между этими радиусами. Величина этого угла и определяет градусную меру дуги.

2. Как измеряется градусная мера дуги?

a. Определение через центральный угол:

Градусная мера дуги определяется величиной центрального угла, который её ограничивает. Если угол, образованный двумя радиусами, равен $\theta$ градусов, то градусная мера дуги будет также равна $\theta$ градусам.

b. Формула для длины дуги:

Сначала определим длину дуги. Она напрямую зависит от величины угла. Пусть радиус окружности равен $R$, а центральный угол, ограничивающий дугу, равен $\theta$ градусам. Тогда длина дуги $l$ вычисляется по формуле:

$$l=\frac{\theta }{360^{\circ }}\cdot 2\pi R$$

Здесь:

• $\theta$ — центральный угол в градусах,

• $R$ — радиус окружности,

• $l$ — длина дуги.

Эта формула отражает, что длина дуги пропорциональна величине центрального угла.

c. Перевод из радиан в градусы:

Иногда градусная мера угла задаётся в радианах. Для перевода угла из радиан в градусы используется следующая формула:

$${\theta }_{\text{град}}={\theta }_{\text{рад}}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }$$

Здесь:

• ${\theta }_{\text{град}}$ — угол в градусах,

• ${\theta }_{\text{рад}}$ — угол в радианах,

• $\pi$ — математическая константа (приблизительно 3.14159).

Если угол в радианах равен $\pi /2$, то в градусах он будет равен $90^{\circ }$.

3. Обозначение градусной меры дуги

Градусная мера дуги обозначается углом, который её ограничивает. Так как дуга является частью окружности, её градусная мера обычно указывается в градусах как величина угла. Например, если угол между двумя радиусами равен $45^{\circ }$, то градусная мера дуги, ограниченной этими радиусами, также будет равна $45^{\circ }$.

Пример 1:

Пусть окружность имеет радиус $R=10$ см, а угол между радиусами $\theta =60^{\circ }$. Тогда длина дуги $l$ вычисляется по формуле:

$$l=\frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 10\approx 10.47\text{ см}$$

Пример 2:

Если угол $\theta =90^{\circ }$, то длина дуги будет равна четверти окружности, т.е.:

$$l=\frac{90^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi R$$

Для радиуса $R=10$ см:

$$l=\frac{90^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi \cdot 10\approx 15.71\text{ см}$$

4. Особенности градусной меры дуги:

• Полная окружность имеет градусную меру 360°, то есть 360 градусов соответствует 2π радиан.

• 1 градус (°) — это 1/360 часть полного оборота.

• Для дуг с углами больше 360° говорят о нескольких оборотах окружности. Например, угол в 720° означает два полных оборота.

• Часто дугу можно выразить в других единицах, таких как радианы, если угол в радианах используется для более удобных вычислений в математике и физике.

5. Применение:

Градусная мера дуги широко используется в различных областях, например:

• В астрономии — для измерения углов между звездами или планетами на небесной сфере.

• В геометрии — для нахождения длины дуги, площади сектора и других величин, связанных с окружностями.

• В навигации — для расчёта углов, на основе которых строятся карты или прокладываются маршруты.

Заключение:

Градусная мера дуги окружности прямо связана с центральным углом, который ограничивает эту дугу. Она измеряется в градусах, где полный круг равен 360°, и может быть использована для вычислений длины дуги, площади сектора и других параметров, связанных с окружностью.