как найти периметр равностороннего треугольника если известна высота

Для того чтобы найти периметр равностороннего треугольника, если известна его высота, нужно воспользоваться некоторыми геометрическими свойствами и формулами.

Шаг 1: Вспоминаем основные свойства равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все три стороны одинаковы. Пусть длина одной стороны равна $a$. Тогда периметр равностороннего треугольника будет равен:

$$P=3a$$

Однако в задаче у нас дана не длина стороны, а высота.

Шаг 2: Как высота связана с длиной стороны

Высота $h$ равностороннего треугольника делит его на два прямоугольных треугольника, где:

• одна катет — это половина стороны $a$, то есть $\frac{a}{2}$,

• второй катет — это высота $h$,

• гипотенуза — это сама сторона треугольника $a$.

Из теоремы Пифагора для этого прямоугольного треугольника получаем:

$$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2$$
$$h^2+\frac{a^2}{4}=a^2$$
$$h^2=a^2-\frac{a^2}{4}$$
$$h^2=\frac{3a^2}{4}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Таким образом, высота $h$ равностороннего треугольника выражается через сторону $a$ как:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Шаг 3: Находим сторону $a$ через высоту $h$

Теперь, зная, что $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$, мы можем выразить сторону $a$ через высоту:

$$a=\frac{2h}{\sqrt{3}}$$

Шаг 4: Находим периметр

Теперь, зная сторону $a$, можем найти периметр $P$ равностороннего треугольника:

$$P=3a$$

Подставляем выражение для $a$:

$$P=3\cdot \frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{6h}{\sqrt{3}}$$

Шаг 5: Упростим результат

Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$$P=\frac{6h}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6h\sqrt{3}}{3}=2h\sqrt{3}$$

Итоговая формула

Периметр равностороннего треугольника через его высоту $h$ равен:

$$P=2h\sqrt{3}$$

Пример

Предположим, что высота равностороннего треугольника $h=6$ см. Тогда его периметр будет:

$$P=2\cdot 6\cdot \sqrt{3}\approx 12\cdot 1.732=20.784\text{см}.$$

Вот так можно найти периметр равностороннего треугольника, если известна его высота!