как найти косинус зная синус

Для того чтобы найти косинус, зная синус угла, можно использовать основное тригонометрическое тождество, которое связывает эти две функции. Это тождество следующее:

$${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

Шаги для нахождения косинуса:

1. Запишем тождество:

   $${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

   Из этого уравнения мы можем выразить косинус через синус.

2. Изолируем ${\cos }^2(\theta )$:
   Переносим ${\sin }^2(\theta )$ на другую сторону:

   $${\cos }^2(\theta )=1-{\sin }^2(\theta )$$

3. Извлекаем корень из обоих частей уравнения:

   $$\cos (\theta )=\pm \sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}$$

   Знак плюс или минус зависит от квадранта, в котором находится угол $\theta$.

Как определить знак косинуса?

Чтобы точно узнать, какой из корней выбрать (положительный или отрицательный), нужно учитывать, в каком квадранте находится угол $\theta$. Рассмотрим, как это работает:

1. Первый квадрант ($0^{\circ }\le \theta \le 90^{\circ }$):

   • Здесь и синус, и косинус положительные, то есть $\cos (\theta )$ будет положительным.

2. Второй квадрант ($90^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$):

   • Синус положительный, а косинус отрицательный. Следовательно, $\cos (\theta )$ будет отрицательным.

3. Третий квадрант ($180^{\circ }\le \theta \le 270^{\circ }$):

   • Синус отрицательный, а косинус также отрицательный, то есть $\cos (\theta )$ будет отрицательным.

4. Четвертый квадрант ($270^{\circ }\le \theta \le 360^{\circ }$):

   • Синус отрицательный, а косинус положительный, значит, $\cos (\theta )$ будет положительным.

Если угол задан в радианах, то аналогичные выводы можно сделать на основе величины угла относительно круговых значений $2\pi$.

Пример 1:

Если нам известен синус угла, например, $\sin (\theta )=0.6$, то мы можем найти косинус следующим образом:

1. Подставим синус в формулу:

   $${\cos }^2(\theta )=1-{\sin }^2(\theta )=1-0.6^2=1-0.36=0.64$$

2. Извлекаем корень:

   $$\cos (\theta )=\pm \sqrt{0.64}=\pm 0.8$$

3. Чтобы выбрать знак, нужно знать, в каком квадранте находится угол. Если, например, угол находится в первом квадранте (где косинус положительный), то:

   $$\cos (\theta )=0.8$$

Если угол во втором квадранте (где косинус отрицательный), то:

$$\cos (\theta )=-0.8$$

Пример 2:

Пусть $\sin (\theta )=-0.5$, и угол находится в третьем квадранте.

1. Сначала найдем $\cos (\theta )$:

   $${\cos }^2(\theta )=1-(-0.5{)}^2=1-0.25=0.75$$

2. Извлекаем корень:

   $$\cos (\theta )=\pm \sqrt{0.75}\approx \pm 0.866$$

3. Поскольку угол в третьем квадранте, где и синус, и косинус отрицательны, то:

   $$\cos (\theta )\approx -0.866$$

Резюме:

• Для нахождения косинуса, зная синус, нужно использовать тождество ${\cos }^2(\theta )=1-{\sin }^2(\theta )$.

• Знак косинуса определяется в зависимости от квадранта, в котором находится угол.