как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Перевести десятичную дробь в обыкновенную дробь — это процесс, при котором мы преобразуем число с десятичной точкой в дробь вида $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — целые числа. Рассмотрим этот процесс пошагово.

1. Пример перевода (10.25 в обыкновенную дробь)

Давайте начнем с примера, чтобы было проще понять.

Десятичная дробь: 10.25

1. Читаем число:

   • Целая часть: 10

   • Дробная часть: 0.25

2. Переводим дробную часть в дробь:
   Дробная часть $0.25$ — это то же самое, что $\frac{25}{100}$, потому что 0.25 — это 25 сотых.

   $$0.25=\frac{25}{100}$$

   Заметим, что дробь $\frac{25}{100}$ можно упростить. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

3. Упрощаем дробь:
   НОД для 25 и 100 равен 25, так что:

   $$\frac{25}{100}=\frac{25÷25}{100÷25}=\frac{1}{4}$$

   Итак, дробная часть $0.25$ — это $\frac{1}{4}$.

4. Целая часть:
   Целая часть числа 10 остаётся без изменений.

5. Записываем обыкновенную дробь:
   Теперь можно записать число $10.25$ как сумму целой части и дробной части:

   $$10.25=10+0.25=10+\frac{1}{4}$$

   Чтобы выразить это как одну дробь, нужно $10$ представить как дробь с тем же знаменателем. Для этого умножим $10$ на 4/4:

   $$10=\frac{10\times 4}{4}=\frac{40}{4}$$

   Итак, теперь можно сложить эти дроби:

   $$10+\frac{1}{4}=\frac{40}{4}+\frac{1}{4}=\frac{40+1}{4}=\frac{41}{4}$$

   Таким образом, 10.25 в виде обыкновенной дроби — это $\frac{41}{4}$.

2. Общий алгоритм перевода десятичной дроби в обыкновенную

Теперь разберём общий алгоритм перевода десятичной дроби в обыкновенную.

1. Разделите десятичную дробь на целую и дробную часть:

Например, пусть $3.75$. Целая часть — 3, дробная часть — 0.75.

2. Переведите дробную часть в обыкновенную дробь:

• Если дробная часть состоит из двух знаков после запятой, то числитель дроби будет числом без запятой (например, $0.75$ → 75).

• Знаменатель будет равен 10 в степени количества знаков после запятой. В случае 0.75 знаменатель будет 100:

  $$0.75=\frac{75}{100}$$

3. Упростите полученную дробь:

Например, для $\frac{75}{100}$ находим НОД числителя и знаменателя (это 25):

$$\frac{75}{100}=\frac{75÷25}{100÷25}=\frac{3}{4}$$

4. Сложите целую часть с дробной частью:

Целую часть $3$ можно представить как $\frac{3\times 4}{4}=\frac{12}{4}$. Теперь сложим:

$$3+\frac{3}{4}=\frac{12}{4}+\frac{3}{4}=\frac{12+3}{4}=\frac{15}{4}$$

Ответ: $3.75=\frac{15}{4}$.

3. Переводим периодические десятичные дроби

Иногда десятичная дробь имеет период, то есть после запятой несколько цифр повторяются. Например, число $0.\overline{3}$ (то есть $0.3333\dots$).

Для таких чисел есть специальный способ перевода:

1. Обозначим число $x=0.\overline{3}$.

2. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от повторяющегося знака:

   $$10x=3.\overline{3}$$

3. Теперь вычитаем $x=0.\overline{3}$ из $10x=3.\overline{3}$:

   $$10x-x=3.\overline{3}-0.\overline{3}$$

   Получается:

   $$9x=3$$

4. Разделим обе части на 9:

   $$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Таким образом, $0.\overline{3}=\frac{1}{3}$.

Пример для более сложной периодической дроби:

Пусть нужно перевести $0.\overline{12}$ (то есть $0.121212\dots$) в обыкновенную дробь.

1. Пусть $x=0.\overline{12}$.

2. Умножим обе части на 100 (так как период состоит из двух цифр):

   $$100x=12.\overline{12}$$

3. Вычитаем $x=0.\overline{12}$ из $100x=12.\overline{12}$:

   $$100x-x=12.\overline{12}-0.\overline{12}$$

   Получаем:

   $$99x=12$$

4. Разделим обе части на 99:

   $$x=\frac{12}{99}$$

   Упростим дробь:

   $$\frac{12}{99}=\frac{12÷3}{99÷3}=\frac{4}{33}$$

Таким образом, $0.\overline{12}=\frac{4}{33}$.

Заключение

Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь — это систематический процесс. Важно:

1. Разделить число на целую и дробную части.

2. Перевести дробную часть в обыкновенную дробь.

3. Упростить её, если возможно.

4. Сложить целую и дробную части в одну дробь.

Если дробь периодическая, нужно применить метод для периодических дробей.