Скалярное произведение (или точечное произведение) — это операция, выполняемая над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число). Скалярное произведение используется во многих областях математики и физики, таких как геометрия, линейная алгебра, механика и теория поля. Чтобы понять его, рассмотрим несколько аспектов.
1. Геометрическое значение
Предположим, у нас есть два вектора a и b в пространстве. Скалярное произведение этих векторов можно интерпретировать как произведение их длин на косинус угла между ними:
a⋅b=∣a∣⋅∣b∣⋅cos(θ)mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| cdot |mathbf{b}| cdot cos(theta)
где:
∣a∣|mathbf{a}| и ∣b∣|mathbf{b}| — длины (модули) векторов a и b,
θtheta — угол между векторами a и b.
Это выражение говорит нам, что скалярное произведение зависит от того, насколько вектора «направлены» друг к другу. Если углы между векторами острые (то есть θ<90∘theta < 90^circ), скалярное произведение положительно. Если угол тупой (то есть θ>90∘theta > 90^circ), результат будет отрицательным. Если вектора перпендикулярны друг другу (угол 90°), скалярное произведение равно нулю.
2. Алгебраическое определение
Если вектора выражены через свои компоненты в какой-либо системе координат, то скалярное произведение можно вычислить с помощью следующей формулы:
a⋅b=a1b1+a2b2+⋯+anbnmathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n
где:
a=(a1,a2,…,an)mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n) и b=(b1,b2,…,bn)mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, b_n) — компоненты векторов a и b в nn-мерном пространстве.
Пример:
Предположим, что векторы a и b в трехмерном пространстве R3mathbb{R}^3:
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3), quad mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)
Тогда скалярное произведение будет:
a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
3. Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение обладает несколькими важными свойствами:
Коммутативность:
a⋅b=b⋅amathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}
Порядок векторов в скалярном произведении не имеет значения.
Линейность:
Скалярное произведение линейно относительно каждой из компонент:a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅cmathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c}
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}Также линейность выполняется относительно умножения вектора на скаляр:
(ka)⋅b=k(a⋅b)(kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k (mathbf{a} cdot mathbf{b})
где kk — скаляр.
Положительная определенность:
Скалярное произведение вектора с самим собой всегда неотрицательно и равно нулю только в том случае, если вектор является нулевым:a⋅a=∣a∣2≥0mathbf{a} cdot mathbf{a} = |mathbf{a}|^2 geq 0
и
a⋅a=0только еслиa=0.mathbf{a} cdot mathbf{a} = 0 quad text{только если} quad mathbf{a} = mathbf{0}.
4. Использование скалярного произведения
4.1. Проверка перпендикулярности
Как уже говорилось, если угол между двумя векторами amathbf{a} и bmathbf{b} равен 90°, то их скалярное произведение равно нулю. Это свойство можно использовать для проверки перпендикулярности векторов.
Если:
a⋅b=0mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0
то векторы a и b перпендикулярны (ортогональны).
4.2. Проекцирование вектора на другой
Скалярное произведение также используется для нахождения проекции одного вектора на другой. Проекция вектора amathbf{a} на вектор bmathbf{b} может быть вычислена как:
projba=a⋅b∣b∣2btext{proj}_{mathbf{b}} mathbf{a} = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{b}|^2} mathbf{b}
4.3. Коса угла между векторами
С помощью скалярного произведения можно вычислить угол между двумя векторами, используя формулу:
cos(θ)=a⋅b∣a∣∣b∣cos(theta) = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}
Отсюда, если угол θtheta между векторами важен, можно найти его как:
θ=cos−1(a⋅b∣a∣∣b∣)theta = cos^{-1}left(frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}right)
5. Скалярное произведение в различных пространствах
Скалярное произведение также существует в других пространствах. Например:
В R2mathbb{R}^2 или R3mathbb{R}^3 — это обычное геометрическое скалярное произведение.
В функциональном пространстве скалярное произведение может быть интегралом по некоторому интервалу: например, ⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x) dxlangle f, g rangle = int_{a}^{b} f(x) g(x) , dx.
6. Применение в физике и других науках
Физика: Скалярное произведение часто встречается при вычислении работы силы. Работа, совершаемая силой Fmathbf{F}, при перемещении объекта на расстояние dmathbf{d}, вычисляется как скалярное произведение этих двух векторов: W=F⋅dW = mathbf{F} cdot mathbf{d}.
Механика: В механике скалярное произведение используется для вычисления энергии системы (например, кинетической энергии).
Заключение
Скалярное произведение векторов — это важный инструмент в математике и физике. Оно позволяет вычислять не только угол между векторами, но и работать с проекциями, проверять ортогональность векторов и решать различные практические задачи.
