Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в десятичную, нужно понимать, как устроена двоичная система и как она соотносится с десятичной.
Основные понятия:
Двоичная система счисления (или бинарная) использует два символа: 0 и 1. Эти символы называются битами. Каждое число в двоичной системе представляется в виде последовательности битов, где каждый бит — это степень двойки.
Десятичная система счисления использует десятизначную систему, то есть числа представлены с использованием цифр от 0 до 9. Это система, которой мы привыкли, и в ней каждое число — это сумма степеней 10, умноженных на соответствующие цифры.
Пример перевода:
Возьмём двоичное число, скажем, 1101. Чтобы перевести его в десятичное, нужно выполнить следующие шаги:
1. Разделить число на отдельные биты:
1 1 0 1 (в числе 4 бита)
2. Присвоить каждому биту степень двойки (начиная с нулевой степени справа налево):
1⋅23+1⋅22+0⋅21+1⋅201 cdot 2^3 + 1 cdot 2^2 + 0 cdot 2^1 + 1 cdot 2^0
3. Рассчитать значения степеней двойки:
23=82^3 = 8
22=42^2 = 4
21=22^1 = 2
20=12^0 = 1
4. Умножить каждый бит на соответствующую степень двойки:
1⋅8=81 cdot 8 = 8
1⋅4=41 cdot 4 = 4
0⋅2=00 cdot 2 = 0
1⋅1=11 cdot 1 = 1
5. Сложить все полученные результаты:
8+4+0+1=138 + 4 + 0 + 1 = 13
Значит, двоичное число 1101 в десятичной системе равно 13.
Алгоритм для перевода:
Возьмите двоичное число.
Пронумеруйте биты справа налево, начиная с нуля (это степени двойки).
Умножьте каждый бит на соответствующую степень двойки.
Сложите все полученные значения.
Пример 2:
Переведём число 10101 из двоичной системы в десятичную.
Разделяем на биты: 1 0 1 0 1
Присваиваем степени двойки:
24=162^4 = 16
23=82^3 = 8
22=42^2 = 4
21=22^1 = 2
20=12^0 = 1
Умножаем каждый бит:
1⋅16=161 cdot 16 = 16
0⋅8=00 cdot 8 = 0
1⋅4=41 cdot 4 = 4
0⋅2=00 cdot 2 = 0
1⋅1=11 cdot 1 = 1
Сложим:
16+0+4+0+1=2116 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21
Ответ: двоичное число 10101 в десятичной системе равно 21.
Обратите внимание:
Если в числе есть нули, то их можно игнорировать при вычислениях, потому что умножение на ноль даёт ноль.
Важно соблюдать порядок битов: старший бит (справа) имеет наибольшую степень двойки.
Пример с большим числом:
Переведем двоичное число 110110101 в десятичное.
Разделим на биты: 1 1 0 1 1 0 1 0 1
Присваиваем степени двойки:
28=2562^8 = 256
27=1282^7 = 128
26=642^6 = 64
25=322^5 = 32
24=162^4 = 16
23=82^3 = 8
22=42^2 = 4
21=22^1 = 2
20=12^0 = 1
Умножаем каждый бит на соответствующую степень двойки:
1⋅256=2561 cdot 256 = 256
1⋅128=1281 cdot 128 = 128
0⋅64=00 cdot 64 = 0
1⋅32=321 cdot 32 = 32
1⋅16=161 cdot 16 = 16
0⋅8=00 cdot 8 = 0
1⋅4=41 cdot 4 = 4
0⋅2=00 cdot 2 = 0
1⋅1=11 cdot 1 = 1
Сложим:
256+128+0+32+16+0+4+0+1=437256 + 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 437
Ответ: двоичное число 110110101 в десятичной системе равно 437.
Заключение:
Процесс перевода чисел из двоичной системы в десятичную — это просто применение степеней двойки к каждому из битов числа. Важно правильно выстроить биты и учитывать их позиции, чтобы правильно вычислить сумму.
