как найти косинус между векторами

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, необходимо использовать формулу скалярного произведения. Я расскажу об этом шаг за шагом и с пояснениями.

1. Формула для косинуса угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ в евклидовой пространстве (например, в двумерном или трехмерном пространстве) можно вычислить с помощью скалярного произведения и длин этих векторов. Формула выглядит так:

$$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$$

где:

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ — это скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$,

• $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ — это модули (длины) векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$,

• $\theta$ — угол между векторами.

2. Пояснение всех компонентов

2.1. Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ и $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

Для двумерных векторов $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$ и $\mathbf{b}=(b_1,b_2)$ формула будет:

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

Суть скалярного произведения заключается в том, что оно связано с проекцией одного вектора на другой, то есть отражает степень их направленности друг к другу.

2.2. Длина вектора

Длина вектора $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ в трехмерном пространстве (или $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$ в двумерном) определяется как:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

Для двумерного вектора:

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$

3. Пример

Допустим, у нас есть два вектора в трехмерном пространстве:

$$\mathbf{a}=(2,3,4)$$
$$\mathbf{b}=(1,0,-1)$$

Шаг 1: Находим скалярное произведение $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(2)(1)+(3)(0)+(4)(-1)=2+0-4=-2$$

Шаг 2: Находим длины векторов $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$.

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}$$
$$|\mathbf{b}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$$

Шаг 3: Используем формулу для косинуса угла:

$$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{-2}{\sqrt{29}\cdot \sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{58}}\approx -0.263$$

Таким образом, косинус угла между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ равен примерно $-0.263$.

4. Интерпретация результата

• Если $\cos (\theta )=1$, то векторы направлены в одну и ту же сторону (угол между ними равен 0°).

• Если $\cos (\theta )=-1$, то векторы направлены в противоположные стороны (угол между ними равен 180°).

• Если $\cos (\theta )=0$, то векторы перпендикулярны (угол между ними равен 90°).

• Значения косинуса между -1 и 1 дают углы, которые лежат между 0° и 180°.

5. Важные замечания

• Если косинус отрицателен, угол между векторами больше 90°, но меньше 180°.

• Если косинус равен нулю, векторы перпендикулярны друг другу.

• Векторы могут быть коллинеарными (либо одинаковыми, либо противоположными), если косинус равен 1 или -1.

Надеюсь, этот подробный разбор помогает! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйся их задавать!