что значит разложить на множители многочлен

Разложить многочлен на множители — это значит представить многочлен в виде произведения нескольких более простых многочленов. То есть, задача заключается в нахождении таких многочленов, которые при умножении дадут исходный многочлен. Множители могут быть как многочленами первой степени (линейными), так и более сложными.

Разложение многочлена на множители: основное объяснение

Пример: Разложим многочлен на множители, например, $x^2 — 5x + 6$ .

Понимание задачи: Нужно найти такие выражения, которые в произведении дадут нам $x^2 — 5x + 6$ . В данном случае можно выразить его как произведение двух многочленов первой степени:
$x — a)(x — b) = x^2 — (a + b)x + ab$
где $a$ и $b$ — это корни (или решения) уравнения $x^2 — 5x + 6 = 0$ .
Поиск корней уравнения: Чтобы разложить многочлен, нужно сначала найти его корни. Мы ищем такие значения $a$ и $b$ , что:
$a + b = 5 и ab = 6$
Решая это, находим $a = 2$ и $b = 3$ .
Разложение: Подставляем найденные значения в формулу разложения:
$x^2 — 5x + 6 = (x — 2)(x — 3)$

Это и есть разложение на множители.

Общие способы разложения многочлена

Теперь давай рассмотрим разные методы разложения многочленов на множители, которые могут быть полезны в разных ситуациях:

1. Вынесение общего множителя

Если у многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки. Это самый простой случай разложения. Например:

$3×3−6×2+9x=3x(x2−2x+3)3x^3 — 6x^2 + 9x = 3x(x^2 — 2x + 3)$

Здесь общий множитель — это $3 x$ , который мы вынесли, а оставшийся многочлен $x^2 — 2x + 3$ уже не раскладывается дальше простыми методами.

2. Разложение квадратных трёхчленов (квадратных многочленов)

Квадратные многочлены вида $ax^2 + bx + c$ часто разлагаются на два линейных множителя, если их дискриминант $b^2 — 4ac$ больше или равен нулю.

Если дискриминант положительный, то у многочлена два различных корня, и его можно разложить как:
$ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2)$
где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ .
Если дискриминант равен нулю, то многочлен разлагается как квадрат бинома:
$ax^2 + bx + c = a(x — x_0)^2$
где $x_0$ — единственный корень уравнения.
Если дискриминант отрицателен, то разложить многочлен на множители в виде произведения линейных многочленов с действительными коэффициентами нельзя, и он остаётся неприводимым над полем действительных чисел.

3. Разложение разности квадратов

Многочлены вида $a^2 — b^2$ разлагаются по формуле разности квадратов:

$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$

Пример:

$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$

4. Разложение на множители суммы и разности кубов

Сумма и разность кубов разлагаются по аналогичным формулам:

Разность кубов:
$a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)$
Сумма кубов:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)$

Пример для разности кубов:

$x^3 — 8 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)$

5. Применение формул для трёхчленов с коэффициентами

Если у нас есть трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ , то для его разложения можно использовать метод подбора, например, методом выделения таких чисел, произведение которых даёт $a c$ , а сумма — $b$ . Это подходит для случая, когда $a \neq = 1$ .

Пример:

$6×2+5x−66x^2 + 5x — 6$

Разделим его на два числа, произведение которых даёт $6 \times (- 6) = - 36$ , а сумма — 5. Это числа 9 и -4. Разделим средний член на эти два числа:

$6×2+9x−4x−66x^2 + 9x — 4x — 6$

Теперь сгруппируем:

$(6×2+9x)−(4x+6)(6x^2 + 9x) — (4x + 6)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$3 x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)$

Теперь можем вынести общий множитель $(2 x + 3)$ :

$(2 x + 3) (3 x - 2)$

Это и будет разложение на множители.

6. Использование формулы группировки (для многочленов с четырьмя и более членами)

Если у многочлена больше членов, то можно попытаться сгруппировать термины так, чтобы получить два более простых многочлена, которые можно разложить. Например:

$x3+3×2+2x+6x^3 + 3x^2 + 2x + 6$

Сгруппируем:

$(x3+3×2)+(2x+6)(x^3 + 3x^2) + (2x + 6)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(x + 3) + 2(x + 3)$

Теперь можно вынести общий множитель $(x + 3)$ :

$x + 3)(x^2 + 2)$

Это и есть разложение на множители.

Заключение

Разложение многочлена на множители — это важный инструмент в алгебре, который помогает упростить выражения и решать уравнения. В зависимости от формы многочлена существуют различные методы его разложения. Умение разлагать многочлены на множители является основой для многих более сложных математических задач и теорем.