как решать неравенства 9 класс огэ

Решение неравенств в 9 классе — это важная часть подготовки к ОГЭ. В целом, процесс решения неравенств аналогичен решению уравнений, но имеет несколько важных отличий, особенно в плане работы с направлениями неравенства. Давай разберёмся поэтапно.

Основные типы неравенств:

1. Линейные неравенства

2. Неравенства с модулями

3. Рациональные неравенства

4. Неравенства второй степени (квадратные неравенства)

1. Линейные неравенства

Линейное неравенство — это неравенство, где переменная стоит только в первой степени. Например:

• $2x-3>5$

• $4x+7\le 2x-1$

Как решать линейные неравенства:

1. Переносим все слагаемые с переменной на одну сторону, а все числа на другую. Это похоже на решение линейного уравнения.

   Например, для неравенства $2x-3>5$:

   $$2x-3>5$$

   Добавляем 3 к обеим частям неравенства:

   $$2x>8$$

2. Решаем для переменной.
   Разделим обе части неравенства на 2:

   $$x>4$$

   Это решение означает, что $x$ должно быть больше 4.

3. Записываем решение в виде интервала: $x\in (4,+\infty )$.

Важно! Если при решении неравенства ты делишь обе части на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Например, если $-2x<6$, то при делении на -2 знак меняется:

$$x>-3$$

2. Неравенства с модулями

Неравенства с модулями требуют разбиения на несколько случаев. Например:

• $|x-3|>5$

• $|x+2|\le 4$

Как решать неравенства с модулем:

Пример 1: $|x-3|>5$

1. Разделим неравенство на два случая:

   $$x-3>5\text{или}x-3<-5$$

2. Решаем каждый случай:

   • Для $x-3>5$ получаем $x>8$

   • Для $x-3<-5$ получаем $x<-2$

Таким образом, решение будет $x\in (-\infty ,-2)\cup (8,+\infty )$.

Пример 2: $|x+2|\le 4$

1. Разделим неравенство на два случая:

   $$-4\le x+2\le 4$$

2. Решаем:

   • Для левой части: $-4\le x+2$ дает $x\ge -6$

   • Для правой части: $x+2\le 4$ дает $x\le 2$

Таким образом, решение будет $x\in [-6,2]$.

3. Рациональные неравенства

Рациональное неравенство — это неравенство с дробями, в которых переменная находится в числителе или знаменателе. Например:

• $\frac{2x+3}{x-1}\le 0$

Как решать рациональные неравенства:

1. Находим область допустимых значений (ОДЗ). То есть, те значения переменной, для которых знаменатель не равен нулю.

   В примере $\frac{2x+3}{x-1}\le 0$, знаменатель $x-1\ne 0$, значит, $x\ne 1$.

2. Находим нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$

   • Знаменатель: $x-1=0\Rightarrow x=1$

3. Строим числовую прямую и определяем знаки дроби в разных интервалах:
   Числовая прямая будет выглядеть так:

   $$-\infty \left(-\frac{3}{2}\right)1+\infty$$

   Поставим на числовую прямую знаки дроби в каждом интервале. Для этого подставим значения из интервалов:

   • Для $x<-\frac{3}{2}$: дробь положительная.

   • Для $-\frac{3}{2}<x<1$: дробь отрицательная.

   • Для $x>1$: дробь положительная.

4. Ответ зависит от знаков, которые нас интересуют. В данном случае нас интересует $\le 0$, то есть мы выбираем интервал, где дробь отрицательная:

   • $-\frac{3}{2}\le x<1$

   Таким образом, решение: $x\in \left[-\frac{3}{2},1\right)$.

4. Квадратные неравенства

Квадратные неравенства — это неравенства вида $a{x}^2+bx+c$ (например, $x^2-5x+6>0$).

Как решать квадратные неравенства:

1. Решаем соответствующее квадратное уравнение. Например, для $x^2-5x+6>0$, решаем уравнение $x^2-5x+6=0$ с помощью дискриминанта:

   $$D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$

   Корни уравнения:

   $$x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5+1}{2}=3$$
   $$x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5-1}{2}=2$$

2. Строим числовую прямую:

   $$-\infty 23+\infty$$

3. Определяем знаки многочлена в интервалах:

   • Для $x<2$: многочлен положительный.

   • Для $2<x<3$: многочлен отрицательный.

   • Для $x>3$: многочлен положительный.

4. Ответ зависит от знаков, которые нас интересуют. В данном случае нас интересует $>0$, то есть выбираем интервалы, где многочлен положительный:

   $$x\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$$

Советы:

• Не забывай про область допустимых значений (ОДЗ), особенно при работе с рациональными и логарифмическими неравенствами.

• Проверяй свои решения — подставляй значение переменной в исходное неравенство, чтобы убедиться, что оно выполняется.

Надеюсь, этот ответ был полезен! Если нужно что-то уточнить или еще примеры, всегда рад помочь.