как найти площадь квадрата по диагонали

Чтобы найти площадь квадрата по диагонали, нам нужно использовать несколько геометрических принципов. Давайте подробно разберемся, как это можно сделать.

1. Связь между диагональю и стороной квадрата

Предположим, что у нас есть квадрат с длиной стороны $a$, и диагональ $d$. Согласно теореме Пифагора, для квадрата диагональ и его стороны связаны следующим образом:

$$d^2=a^2+a^2=2a^2$$

Это происходит, потому что диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника, где стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

2. Выражение стороны через диагональ

Из вышеупомянутой формулы для диагонали можем выразить сторону квадрата $a$ через диагональ $d$:

$$d^2=2a^2$$
$$a^2=\frac{d^2}{2}$$
$$a=\frac{d}{\sqrt{2}}$$

То есть, сторона квадрата $a$ равна диагонали, делённой на $\sqrt{2}$.

3. Площадь квадрата

Теперь, когда мы знаем, как связаны сторона квадрата и диагональ, можем найти площадь квадрата. Площадь квадрата — это квадрат его стороны, то есть:

$$S=a^2$$

Подставляем выражение для $a^2$ из предыдущего шага:

$$S=\frac{d^2}{2}$$

4. Итоговая формула

Таким образом, площадь квадрата через диагональ можно выразить так:

$$S=\frac{d^2}{2}$$

Пример

Допустим, диагональ квадрата равна 10 см. Тогда площадь квадрата будет:

$$S=\frac{10^2}{2}=\frac{100}{2}=50{\text{см}}^2$$

Итог

Для нахождения площади квадрата по диагонали достаточно знать диагональ $d$ и применить формулу:

$$S=\frac{d^2}{2}$$

Если что-то осталось непонятным или есть другие вопросы, не стесняйтесь спросить!