Нахождение обратной матрицы для матрицы 3×33 times 3 включает несколько важных шагов. Давай разберём процесс подробно и поэтапно.
1. Определение матрицы и условия для её обратимости
Матрица AA имеет размерность 3×33 times 3 и выглядит так:
A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A = begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33}
end{pmatrix}
Для того чтобы матрица AA имела обратную, её определитель det(A)det(A) должен быть ненулевым. То есть, если det(A)=0det(A) = 0, то матрица не имеет обратной. Это основное условие существования обратной матрицы.
2. Определитель матрицы 3×33 times 3
Определитель матрицы AA для 3×33 times 3 вычисляется по следующей формуле:
det(A)=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} — a_{23}a_{32}) — a_{12}(a_{21}a_{33} — a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} — a_{22}a_{31})
Этот детерминант нужно вычислить первым шагом. Если det(A)=0det(A) = 0, то обратной матрицы нет.
3. Алгоритм нахождения обратной матрицы
Если определитель матрицы AA не равен нулю, то можно вычислить обратную матрицу A−1A^{-1} с помощью следующей формулы:
A−1=1det(A)⋅adj(A)A^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot text{adj}(A)
где adj(A)text{adj}(A) — это аджугат матрицы AA, который получается как транспонированная матрица из её алгебраических дополнений.
3.1. Вычисление алгебраических дополнений и матрицы кофакторов
Каждое алгебраическое дополнение AijA_{ij} для элемента aija_{ij} матрицы AA — это детерминант матрицы 2×22 times 2, полученной из матрицы AA путём удаления строки и столбца, в которых находится элемент aija_{ij}, с последующим умножением на (−1)i+j(-1)^{i+j}.
Для матрицы AA размером 3×33 times 3, алгебраические дополнения для каждого элемента вычисляются следующим образом:
A11=(−1)1+1⋅det(a22a23a32a33)=det(a22a23a32a33)A_{11} = (-1)^{1+1} cdot detbegin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} end{pmatrix} = detbegin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} end{pmatrix}
A12=(−1)1+2⋅det(a21a23a31a33)=−det(a21a23a31a33)A_{12} = (-1)^{1+2} cdot detbegin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} end{pmatrix} = -detbegin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} end{pmatrix}
A13=(−1)1+3⋅det(a21a22a31a32)=det(a21a22a31a32)A_{13} = (-1)^{1+3} cdot detbegin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} end{pmatrix} = detbegin{pmatrix} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} end{pmatrix}
A21=(−1)2+1⋅det(a12a13a32a33)=−det(a12a13a32a33)A_{21} = (-1)^{2+1} cdot detbegin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \ a_{32} & a_{33} end{pmatrix} = -detbegin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \ a_{32} & a_{33} end{pmatrix}
A22=(−1)2+2⋅det(a11a13a31a33)=det(a11a13a31a33)A_{22} = (-1)^{2+2} cdot detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{31} & a_{33} end{pmatrix} = detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{31} & a_{33} end{pmatrix}
A23=(−1)2+3⋅det(a11a12a31a32)=−det(a11a12a31a32)A_{23} = (-1)^{2+3} cdot detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{31} & a_{32} end{pmatrix} = -detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{31} & a_{32} end{pmatrix}
A31=(−1)3+1⋅det(a12a13a22a23)=det(a12a13a22a23)A_{31} = (-1)^{3+1} cdot detbegin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \ a_{22} & a_{23} end{pmatrix} = detbegin{pmatrix} a_{12} & a_{13} \ a_{22} & a_{23} end{pmatrix}
A32=(−1)3+2⋅det(a11a13a21a23)=−det(a11a13a21a23)A_{32} = (-1)^{3+2} cdot detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} end{pmatrix} = -detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} end{pmatrix}
A33=(−1)3+3⋅det(a11a12a21a22)=det(a11a12a21a22)A_{33} = (-1)^{3+3} cdot detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{pmatrix} = detbegin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{pmatrix}
3.2. Построение матрицы кофакторов
После того как ты нашёл все алгебраические дополнения, строишь матрицу кофакторов, заменяя каждый элемент матрицы на соответствующее алгебраическое дополнение. Это будет:
C=(A11A12A13A21A22A23A31A32A33)C = begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \
A_{21} & A_{22} & A_{23} \
A_{31} & A_{32} & A_{33}
end{pmatrix}
3.3. Транспонирование матрицы кофакторов
Затем ты берёшь транспонированную матрицу кофакторов (матрицу, в которой строки становятся столбцами):
adj(A)=CTtext{adj}(A) = C^T
3.4. Нахождение обратной матрицы
Теперь можно найти обратную матрицу по формуле:
A−1=1det(A)⋅adj(A)A^{-1} = frac{1}{det(A)} cdot text{adj}(A)
Пример
Давай рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас есть матрица:
A=(123014560)A = begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & 1 & 4 \
5 & 6 & 0
end{pmatrix}
Сначала вычислим её определитель:
det(A)=1⋅(1⋅0−4⋅6)−2⋅(0⋅0−4⋅5)+3⋅(0⋅6−1⋅5)det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 — 4 cdot 6) — 2 cdot (0 cdot 0 — 4 cdot 5) + 3 cdot (0 cdot 6 — 1 cdot 5)
=1⋅(−24)−2⋅(−20)+3⋅(−5)= 1 cdot (-24) — 2 cdot (-20) + 3 cdot (-5)
=−24+40−15=1= -24 + 40 — 15 = 1
Так как определитель равен 1, матрица обратима.
Теперь вычисляем алгебраические дополнения для каждого элемента.
Строим матрицу кофакторов и транспонируем её.
Умножаем на 1det(A)frac{1}{det(A)}.
В конце, результат будет:
A−1=(−242054−5−16−5−1)A^{-1} = begin{pmatrix}
-24 & 20 & 5 \
4 & -5 & -1 \
6 & -5 & -1
end{pmatrix}
Вот такой процесс!
