как найти меньший угол параллелограмма

Чтобы найти меньший угол параллелограмма, нужно понять несколько ключевых аспектов геометрии параллелограмма, а именно — как связаны его углы, диагонали и стороны. Рассмотрим шаги для нахождения меньшего угла параллелограмма, предположив, что у нас есть все необходимые данные (например, стороны и угол между ними или координаты вершин параллелограмма).

1. Общие свойства параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Основные свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллельны и равны.

• Противоположные углы равны.

• Сумма углов параллелограмма всегда равна 360°.

• Сумма соседних углов параллелограмма всегда 180° (то есть они дополняют друг друга до прямого угла).

Это значит, что если один угол параллелограмма равен $\theta$, то противоположный угол будет тоже $\theta$, а два других угла будут равны $180^{\circ }-\theta$.

2. Как найти угол параллелограмма?

Чтобы найти меньший угол параллелограмма, нужно выполнить несколько шагов в зависимости от того, какие данные у вас есть. Разберём основные способы:

2.1. Если известны длины сторон параллелограмма и угол между ними

Пусть $a$ и $b$ — это длины двух смежных сторон параллелограмма, а угол между ними — это угол $\theta$.

В этом случае угол $\theta$ можно найти через косинус, используя формулу для вычисления площади параллелограмма:

$$S=a\cdot b\cdot \sin (\theta )$$

Если известна площадь параллелограмма $S$, то мы можем выразить угол $\theta$ через его значение:

$$\sin (\theta )=\frac{S}{a\cdot b}$$

Тогда угол $\theta$ можно найти, вычислив арксинус:

$$\theta ={\sin }^{-1}\left(\frac{S}{a\cdot b}\right)$$

2.2. Если известны координаты вершин параллелограмма

Параллелограмм можно также рассматривать как многоугольник в координатной плоскости. Пусть вершины параллелограмма имеют координаты $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$, $D(x_4,y_4)$, и нам нужно найти угол между сторонами $AB$ и $AD$.

1. Векторное представление сторон:

   • Вектор $AB=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

   • Вектор $AD=(x_4-x_1,y_4-y_1)$

2. Косинус угла между векторами:
   Косинус угла между векторами можно вычислить по формуле скалярного произведения:

   $$\cos (\theta )=\frac{AB\cdot AD}{|AB|\cdot |AD|}$$

   где скалярное произведение $AB\cdot AD=(x_2-x_1)(x_4-x_1)+(y_2-y_1)(y_4-y_1)$, а длины векторов $|AB|$ и $|AD|$ вычисляются как:

   $$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$
   $$|AD|=\sqrt{(x_4-x_1{)}^2+(y_4-y_1{)}^2}$$

3. Получение угла:
   После вычисления $\cos (\theta )$, угол $\theta$ можно найти через арккосинус:

   $$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{AB\cdot AD}{|AB|\cdot |AD|}\right)$$

4. Меньший угол:
   Так как угол между векторами может быть как острым, так и тупым, меньший угол будет равен:

   $${\theta }_{\text{меньший}}=\min (\theta ,180^{\circ }-\theta )$$

2.3. Использование диагоналей

Если известны диагонали параллелограмма, можно воспользоваться формулой для угла между ними. Для параллелограмма с диагоналями $d_1$ и $d_2$, угол $\alpha$ между диагоналями можно найти через следующее соотношение:

$$\cos (\alpha )=\frac{d_1^2+d_2^2-2a^2-2b^2}{2ab}$$

где $a$ и $b$ — это длины сторон параллелограмма. После нахождения косинуса угла, угол можно вычислить через арккосинус.

3. Подытожим:

• Если известен угол между сторонами параллелограмма, то меньший угол будет либо равен этому углу, либо $180^{\circ }-$ этому углу (в зависимости от того, который из них меньше).

• Если известны координаты, то угол можно найти через скалярное произведение векторов.

• Если известна площадь и длины сторон, то можно использовать формулы для площади, чтобы найти синус угла.

Таким образом, чтобы найти меньший угол параллелограмма, нужно понимать, что его значение ограничено диапазоном от $0^{\circ }$ до $90^{\circ }$.