какое из тождеств устанавливает связь между косинусом и тангенсом одного и того же угла

Тождество, которое устанавливает связь между косинусом и тангенсом одного и того же угла, выглядит следующим образом:

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$$

Это основное тригонометрическое тождество, выражающее тангенс угла через синус и косинус.

Теперь давай развернуто разберём, как это тождество связано с косинусом и тангенсом.

1. Определения тригонометрических функций

• Косинус угла $\theta$ в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к гипотенузе. То есть:

  $$\cos (\theta )=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

• Синус угла $\theta$ — это отношение длины противолежащего катета к гипотенузе:

  $$\sin (\theta )=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

• Тангенс угла $\theta$ — это отношение синуса угла к косинусу угла:

  $$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$$

2. Геометрический смысл

Если рассматривать прямоугольный треугольник, где угол $\theta$ — это один из острых углов, то:

• Синус угла $\theta$ — это вертикальная компонента (противолежащий катет) относительно гипотенузы.

• Косинус угла $\theta$ — это горизонтальная компонента (прилежащий катет) относительно гипотенузы.

• Тангенс угла $\theta$ показывает, как вертикальная компонента соотносится с горизонтальной (или как противолежащий катет соотносится с прилежащим катетом).

Таким образом, связь между косинусом и тангенсом через синус очень проста. Если выразить тангенс через синус и косинус, то это будет:

$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$$

3. Как это работает на окружности

Если рассматривать единичную окружность (окружность радиусом 1), то координаты точки, на которой пересекается линия, проведённая под углом $\theta$, дают значения для синуса и косинуса:

• $x=\cos (\theta )$ — это горизонтальная проекция на ось $x$,

• $y=\sin (\theta )$ — это вертикальная проекция на ось $y$.

Теперь, тангенс угла $\theta$ можно выразить как отношение вертикальной проекции (синуса) к горизонтальной (косинусу):

$$\tan (\theta )=\frac{y}{x}=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$$

4. Тождество для других углов

Это тождество работает для всех углов $\theta$, но следует помнить, что оно не определено для углов, где $\cos (\theta )=0$, то есть для углов $\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi$, где $k$ — целое число. В этих точках тангенс не существует, так как деление на ноль невозможно.

5. Применение тождества

Это тождество удобно, например, при решении задач на нахождение значений углов, при преобразованиях тригонометрических выражений и в анализе различных тригонометрических функций. Например:

• При упрощении выражений, включающих тангенс, часто можно выразить его через синус и косинус для более удобной работы.

• В задачах, связанных с нахождением значений углов, можно использовать это тождество для быстрого перехода от тангенса к синусу и косинусу.

Заключение

Тождество $\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}$ устанавливает основную связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла. Тангенс всегда выражается через синус и косинус, и это тождество играет важную роль в тригонометрии, упрощая вычисления и позволяя легче решать многие задачи.