как выносить общий множитель за скобки

Чтобы выносить общий множитель за скобки, нужно следовать определённому алгоритму. Я объясню это шаг за шагом, с примерами и разбором.

1. Что такое общий множитель?

Общий множитель — это число, переменная или выражение, которое содержится во всех слагаемых, которые мы хотим объединить. Например, если у нас есть выражение $3x+6y$, то мы видим, что 3 является общим множителем для обоих слагаемых, потому что и $3x$, и $6y$ делятся на 3.

2. Шаги выноса общего множителя за скобки

Шаг 1: Найти общий множитель

Для этого нужно проанализировать все слагаемые и выявить:

• Общий числовой множитель (если таковой имеется).

• Общий буквенный множитель (если в выражении присутствуют одинаковые переменные).

Шаг 2: Разделить каждое слагаемое на общий множитель

Для каждого слагаемого, которое мы хотим упростить, нужно разделить его на найденный общий множитель.

Шаг 3: Записать выражение как произведение общего множителя и суммы.

После того как мы разделим каждое слагаемое на общий множитель, запишем его перед скобками, а в скобках оставим результат деления для каждого слагаемого.

Пример 1: Вынос числового множителя

Возьмём пример: $6x+12y$.

1. Найдем общий множитель.

   • Числовые коэффициенты: 6 и 12.

   • Общий множитель для 6 и 12 — это 6 (так как $\text{НОД}(6,12)=6$).

2. Разделим каждое слагаемое на 6.

   • $6x÷6=x$,

   • $12y÷6=2y$.

3. Запишем результат.
   $6x+12y=6(x+2y)$.

Итак, выражение $6x+12y$ с вынесенным общим множителем — это $6(x+2y)$.

Пример 2: Вынос буквенного множителя

Возьмём выражение: $5xy+7x$.

1. Найдем общий множитель.

   • В обоих слагаемых есть переменная $x$.

   • Следовательно, общий множитель — это $x$.

2. Разделим каждое слагаемое на $x$.

   • $5xy÷x=5y$,

   • $7x÷x=7$.

3. Запишем результат.
   $5xy+7x=x(5y+7)$.

Пример 3: Вынос общего множителя из многочлена с несколькими переменными

Теперь возьмём более сложное выражение: $4x^{2}y+8x{y}^2+12xy$.

1. Найдем общий множитель.

   • Числовые коэффициенты: 4, 8 и 12. Общий множитель для них — 4.

   • Переменные: во всех слагаемых есть $x$ и $y$.

   • Общий множитель по переменным: $xy$ (поскольку $x^2$, $x{y}^2$ и $xy$ имеют общий множитель $x$ и $y$).

Таким образом, общий множитель — это $4xy$.

2. Разделим каждое слагаемое на $4xy$:

   • $4x^{2}y÷4xy=x$,

   • $8x{y}^2÷4xy=2y$,

   • $12xy÷4xy=3$.

3. Запишем результат.
   $4x^{2}y+8x{y}^2+12xy=4xy(x+2y+3)$.

3. Когда не стоит выносить общий множитель

Не всегда имеет смысл выносить общий множитель. Например, если множители выражений не образуют простого множителя для всего выражения, то выносить его не имеет смысла.

Пример:

• $7x+11y$ — в данном случае нельзя вынести общий множитель, так как числа 7 и 11 не имеют общих множителей, кроме 1.

4. Особенности выноса минуса

Если в выражении есть минус, и мы хотим выносить его, важно помнить, что минус также можно вынести за скобки. Иногда это помогает упростить вид выражения.

Пример:

• $-3x+6y$.

1. Найдем общий множитель.
   Общий множитель — это $3$, но перед ним стоит минус, который также можно вынести.

2. Разделим на $-3$:

   • $-3x÷-3=x$,

   • $6y÷-3=-2y$.

3. Запишем результат.
   $-3x+6y=-3(x-2y)$.

5. Дополнительные примеры

Пример 1: Вынос в многочленах с несколькими слагаемыми
$5x^3+10x^2-15x$.

1. Общий множитель — это $5x$.

2. Разделим на $5x$:

   • $5x^3÷5x=x^2$,

   • $10x^2÷5x=2x$,

   • $-15x÷5x=-3$.

3. Запишем результат:
   $5x^3+10x^2-15x=5x(x^2+2x-3)$.

Заключение

Вынос общего множителя — это важный метод упрощения выражений в алгебре. Это не только помогает привести выражения к более компактному виду, но и может значительно упростить дальнейшие вычисления, например, при решении уравнений или неравенств.

Если есть конкретные примеры, с которыми ты столкнулся и не уверен, как вынести множитель, я могу помочь и с ними!