как сравнивать логарифмы с разными основаниями

Чтобы сравнивать логарифмы с разными основаниями, нам нужно понять основные принципы логарифмов и воспользоваться некоторыми математическими свойствами. Давай разберемся, как это делается пошагово и в деталях.

1. Основы логарифмов

Логарифм с основанием $a$ числа $x$, обозначаемый как ${\log }_a(x)$, это такая степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $x$:

$${\log }_a(x)=y\text{если и только если}{a}^y=x$$

Где:

• $a$ — основание логарифма (оно должно быть больше 0 и не равно 1).

• $x$ — число, для которого ищется логарифм, оно должно быть положительным.

• $y$ — результат логарифма, степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить $x$.

2. Проблема сравнения логарифмов с разными основаниями

Допустим, нужно сравнить два логарифма:

$${\log }_a(x)\text{и}{\log }_b(x)$$

где основания $a$ и $b$ могут быть разными. Для того чтобы их сравнить, нужно привести их к одному основанию.

3. Перевод логарифмов в одно основание

Для удобства можно воспользоваться формулой изменения основания логарифма, которая позволяет преобразовать логарифмы с любым основанием в логарифмы с одинаковым основанием.

Формула для изменения основания выглядит так:

$${\log }_a(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_c(a)}$$

где $c$ — это любое положительное число, которое не равно 1. Чаще всего используют основание $c=10$ (десятичный логарифм) или $c=e$ (натуральный логарифм).

Таким образом, чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, например, ${\log }_a(x)$ и ${\log }_b(x)$, можно использовать эту формулу для обоих логарифмов:

$${\log }_a(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_c(a)}\text{и}{\log }_b(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_c(b)}$$

Теперь, чтобы сравнить два логарифма, можно просто сравнить их численные значения (так как ${\log }_c(x)$ в обоих выражениях одинаково будет делиться на различные константы ${\log }_c(a)$ и ${\log }_c(b)$).

4. Практическое использование

Допустим, нужно сравнить ${\log }_2(8)$ и ${\log }_4(8)$:

• Для ${\log }_2(8)$, очевидно, что $2^3=8$, поэтому ${\log }_2(8)=3$.

• Для ${\log }_4(8)$, мы можем применить формулу изменения основания, например, через натуральные логарифмы:

$${\log }_4(8)=\frac{\log (8)}{\log (4)}=\frac{\log (2^3)}{\log (2^2)}=\frac{3\log (2)}{2\log (2)}=\frac{3}{2}$$

Теперь, сравнив ${\log }_2(8)=3$ и ${\log }_4(8)=\frac{3}{2}$, мы можем сделать вывод, что ${\log }_2(8)>{\log }_4(8)$.

5. Сравнение логарифмов с разными основаниями в общем случае

Рассмотрим два логарифма: ${\log }_a(x)$ и ${\log }_b(x)$. Для того чтобы понять, какой из них больше, нужно учитывать два фактора:

1. Как соотносятся основания $a$ и $b$? — Если $a>b$, то ${\log }_a(x)<{\log }_b(x)$ для всех $x>1$. Это происходит потому, что для большего основания логарифм растет медленнее. Например, для ${\log }_2(8)=3$ и ${\log }_4(8)=\frac{3}{2}$, как мы видим, логарифм с меньшим основанием (2) больше, чем с большим основанием (4).

2. Как соотносится $x$ с основанием? — Если $x>1$, то логарифм с меньшим основанием будет больше, а если $0<x<1$, то наоборот, логарифм с меньшим основанием будет меньше.

6. Примеры

Пример 1: Сравнение ${\log }_2(16)$ и ${\log }_4(16)$

• ${\log }_2(16)=4$, потому что $2^4=16$.

• ${\log }_4(16)=2$, потому что $4^2=16$.

Здесь видно, что ${\log }_2(16)>{\log }_4(16)$.

Пример 2: Сравнение ${\log }_3(10)$ и ${\log }_5(10)$

• Мы можем использовать формулу изменения основания и выразить оба логарифма через натуральные логарифмы:

$${\log }_3(10)=\frac{\log (10)}{\log (3)},{\log }_5(10)=\frac{\log (10)}{\log (5)}$$

Поскольку $\log (3)$ меньше $\log (5)$, то ${\log }_3(10)>{\log }_5(10)$.

7. Вывод

Для сравнения логарифмов с разными основаниями важно:

• Использовать формулу изменения основания, чтобы привести все логарифмы к одному основанию.

• Анализировать, как величины оснований соотносятся между собой и как это влияет на результат.

Кроме того, для наглядных сравнений можно использовать графики логарифмов, чтобы лучше понять, как ведет себя функция логарифма для разных оснований.