как найти расстояние от точки до плоскости

Чтобы найти расстояние от точки $P(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax+By+Cz+D=0$, нужно воспользоваться формулой для расстояния. Рассмотрим, как это можно сделать поэтапно.

1. Уравнение плоскости

Плоскость в трехмерном пространстве задается уравнением вида:

$$Ax+By+Cz+D=0$$

где:

• $A,B,C$ — коэффициенты, определяющие нормаль (перпендикуляр) к плоскости.

• $D$ — сдвиг плоскости относительно начала координат.

Нормаль к плоскости — это вектор $\mathbf{n}=(A,B,C)$, перпендикулярный всей плоскости.

2. Вектор, соединяющий точку и плоскость

Предположим, что точка $P(x_0,y_0,z_0)$ не лежит на плоскости, и нам нужно найти минимальное расстояние от неё до плоскости.

Чтобы это сделать, мы должны построить вектор от точки $P(x_0,y_0,z_0)$ до некоторой произвольной точки $Q(x_1,y_1,z_1)$ на плоскости.

Пусть $Q(x_1,y_1,z_1)$ — это точка на плоскости, то есть она удовлетворяет уравнению плоскости:

$$A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0$$

Теперь определим вектор, который соединяет точку $P(x_0,y_0,z_0)$ и точку $Q(x_1,y_1,z_1)$, он будет равен:

$$\mathbf{PQ}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$$

Однако проще всего для нахождения расстояния использовать перпендикулярный вектор, который является проекцией вектора $\mathbf{PQ}$ на нормаль к плоскости $\mathbf{n}=(A,B,C)$.

3. Формула для расстояния

Расстояние $d$ от точки $P(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости можно найти по следующей формуле:

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Эта формула выводится из геометрических соображений и векторного анализа.

4. Разбор формулы

• Числитель $|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|$ — это абсолютная величина значения подстановки координат точки $P(x_0,y_0,z_0)$ в уравнение плоскости. Этот результат выражает расстояние от точки $P$ до плоскости вдоль нормали.

• Знаменатель $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ — это длина нормального вектора $\mathbf{n}=(A,B,C)$, которая используется для нормализации числителя. Это нужно, чтобы учесть размерность нормали, которая может быть произвольной и отличаться от 1.

5. Пояснение примера

Предположим, что у нас есть плоскость с уравнением $3x+4y-5z+6=0$ и точка $P(1,2,3)$. Найдем расстояние от этой точки до плоскости.

1. Подставляем значения в формулу:

$$d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 2-5\cdot 3+6|}{\sqrt{3^2+4^2+(-5{)}^2}}$$

2. Вычисляем числитель:

$$3\cdot 1+4\cdot 2-5\cdot 3+6=3+8-15+6=2$$

3. Вычисляем знаменатель:

$$\sqrt{3^2+4^2+(-5{)}^2}=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$

4. Получаем:

$$d=\frac{|2|}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{5}$$

Таким образом, расстояние от точки $P(1,2,3)$ до плоскости $3x+4y-5z+6=0$ равно $\frac{\sqrt{2}}{5}$.

6. Заключение

Это классическая формула для нахождения расстояния от точки до плоскости в трехмерном пространстве. Важно понимать, что для получения точного расстояния нужно правильно подставить координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости.