как возводить дробь в степень

Возведение дроби в степень — это операция, которая применяется как к числителю, так и к знаменателю дроби. Давай разберёмся, как это делается, шаг за шагом, чтобы всё было понятно.

Общий вид дроби

Предположим, у нас есть дробь:

$$\frac{a}{b}$$

где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель.

Как возводить дробь в степень?

Для возведения дроби в степень $n$, мы используем следующую формулу:

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$$

То есть, чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в степень как числитель, так и знаменатель. Это основной принцип.

Разберём подробнее

1. Числитель возводится в степень. Мы просто возводим $a$ в степень $n$, получая $a^n$.

2. Знаменатель возводится в степень. Мы также возводим $b$ в степень $n$, получая $b^n$.

Пример:
Возьмём дробь $\frac{2}{3}$ и возведём её в степень 3.

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$$

Возведение дроби в отрицательную степень

Если степень отрицательная, то нужно ещё учитывать, что дробь переворачивается. Формула будет такой:

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}=\frac{b^n}{a^n}$$

Пример:
Возьмём $\frac{2}{3}$ и возведём её в степень -2.

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{3^2}{2^2}=\frac{9}{4}$$

Возведение дроби в степень с дробными показателями

Если степень является дробным числом, то это можно интерпретировать как корень.

Например, если степень $\frac{1}{2}$, то это означает извлечение квадратного корня:

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Пример:
Возьмём дробь $\frac{9}{16}$ и возведём её в степень $\frac{1}{2}$.

$${\left(\frac{9}{16}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$$

Если степень дробная, но больше единицы, например $\frac{3}{2}$, то это означает возведение дроби сначала в степень 3, а затем извлечение квадратного корня.

Пример:
Возьмём $\frac{4}{5}$ и возведём её в степень $\frac{3}{2}$:

$${\left(\frac{4}{5}\right)}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{\left(\frac{4}{5}\right)}^3}=\sqrt{\frac{64}{125}}=\frac{8}{11.18}\approx 0.716$$

Применение свойств степеней

Для дробей также работают все основные свойства степеней, такие как:

• Произведение дробей в степени:

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^m\cdot {\left(\frac{c}{d}\right)}^n=\frac{a^m\cdot c^n}{b^m\cdot d^n}$$

• Частное дробей в степени:

$$\frac{{\left(\frac{a}{b}\right)}^m}{{\left(\frac{c}{d}\right)}^n}=\frac{a^m\cdot d^n}{b^m\cdot c^n}$$

Примеры:

1. Возьмём ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\cdot {\left(\frac{5}{7}\right)}^3$:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9},{\left(\frac{5}{7}\right)}^3=\frac{5^3}{7^3}=\frac{125}{343}$$

Теперь перемножим их:

$$\frac{4}{9}\cdot \frac{125}{343}=\frac{4\cdot 125}{9\cdot 343}=\frac{500}{3087}$$

2. Возьмём $\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3}{{\left(\frac{5}{7}\right)}^2}$:

$$\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3}{{\left(\frac{5}{7}\right)}^2}=\frac{\frac{2^3}{3^3}}{\frac{5^2}{7^2}}=\frac{\frac{8}{27}}{\frac{25}{49}}=\frac{8}{27}\cdot \frac{49}{25}=\frac{8\cdot 49}{27\cdot 25}=\frac{392}{675}$$

Заключение

Возведение дроби в степень — это простая операция, но важно помнить, что возводятся в степень как числитель, так и знаменатель. Если степень отрицательная, дробь переворачивается. Если степень дробная, это может означать корень или комбинированную операцию.

Надеюсь, теперь это стало более понятным! Если есть какие-то вопросы по конкретным примерам или нюансам, не стесняйся спрашивать!