какая теорема называется обратной данной теореме приведите примеры теорем обратных данным 7 класс

Обратной теоремой называется такая теорема, в которой условия и заключение исходной теоремы меняются местами. В обратной теореме те же математические объекты, но они связаны другим образом.

Если в обычной теореме мы говорим, что при выполнении определённых условий выполняется некое заключение, то в обратной теореме утверждается, что если выполняется это заключение, то должны быть выполнены условия исходной теоремы.

Пример:

• Теорема Пифагора: если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  Обратная теорема: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других двух сторон, то треугольник прямоугольный.

Примеры обратных теорем, которые могут встретиться в 7 классе:

1. Теорема о прямоугольном треугольнике (Теорема Пифагора)

   • Исходная теорема: Если в треугольнике один угол прямой (90°), то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
     $a^2+b^2=c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

   • Обратная теорема: Если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный.
     То есть, если $a^2+b^2=c^2$, то угол между сторонами $a$ и $b$ прямой.

2. Теорема о биссектрисе угла

   • Исходная теорема: Если в треугольнике проведена биссектриса угла, то она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к углу сторонам.

     $$\frac{AP}{PB}=\frac{AB}{AC}$$

     где $P$ — точка на противоположной стороне, через которую проходит биссектриса.

   • Обратная теорема: Если отрезок, проведённый из вершины треугольника, делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то этот отрезок является биссектрисой угла.
     То есть, если выполняется условие:

     $$\frac{AP}{PB}=\frac{AB}{AC}$$

     то угол $\angle A$ в треугольнике делится биссектрисой.

3. Теорема о медиане

   • Исходная теорема: Медиана треугольника соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Она делит треугольник на два равных по площади подтипа.

   • Обратная теорема: Если отрезок соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, делящей её пополам, то этот отрезок является медианой треугольника.

4. Теорема о равенстве углов в окружности

   • Исходная теорема: Если два угла в окружности опираются на одну и ту же дугу, то они равны.

   • Обратная теорема: Если два угла в окружности равны, то они опираются на одну и ту же дугу окружности.

Объяснение на примере

Возьмём теорему Пифагора и её обратную теорему:

• Обычная теорема Пифагора:
  В прямоугольном треугольнике, если угол прямой, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это можно записать как:

  $$c^2=a^2+b^2$$

  Где $a$, $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

• Обратная теорема Пифагора:
  Если в треугольнике выполняется равенство $c^2=a^2+b^2$, то этот треугольник прямоугольный. То есть, если стороны треугольника удовлетворяют теореме Пифагора, то угол между этими сторонами — прямой (90 градусов).

Важные моменты:

1. Обратная теорема может быть не всегда верна. В некоторых случаях её нужно тщательно проверять. Например, обратная теорема о том, что если треугольник имеет угол 90°, то выполняется теорема Пифагора — это верно, но не все утверждения имеют такие же обратные теоремы.

2. Применение в задачах:
   Когда в задачах даются свойства треугольников или других фигур, иногда можно использовать обратные теоремы для нахождения дополнительной информации. Например, если известно, что сумма квадратов сторон треугольника равна квадрату гипотенузы, то можно заключить, что угол прямой.

Таким образом, обратная теорема — это логический инструмент, который позволяет проверять, справедливо ли заключение исходной теоремы, если выполняются её условия.