как умножить многочлен на многочлен

Умножение многочленов — это важная операция в алгебре, которая позволяет находить результат произведения двух полиномов. Давайте разберемся, как умножить многочлен на многочлен шаг за шагом, с объяснением каждого этапа.

Шаг 1: Вспомнить форму многочлена

Многочлен — это выражение вида:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0$

где $an,an−1,…,a1,a0a_n, a_{n-1}, dots, a_1, a_0$ — это коэффициенты, а $n$ — степень многочлена. Степень многочлена — это наибольшая степень переменной $x$ .

Для примера возьмем два многочлена:

$3x^2 + 2x + 1$
$Q (x) = x + 4$

Нам нужно найти их произведение $P (x) \cdot Q (x)$ .

Шаг 2: Раскрытие скобок (метод распределения)

Чтобы умножить многочлены, используем правило распределения, которое заключается в том, что каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена, а затем все произведения складываются.

Для $P (x)$ и $Q (x)$ это будет:

$(3×2+2x+1)⋅(x+4)(3x^2 + 2x + 1) cdot (x + 4)$

Умножим первый член $P (x)$ на каждый член $Q (x)$ :

$3×2⋅x=3x33x^2 cdot x = 3x^3$
$3×2⋅4=12x23x^2 cdot 4 = 12x^2$

Умножим второй член $P (x)$ на каждый член $Q (x)$ :

$2x^2$
$2 x \cdot 4 = 8 x$

Умножим третий член $P (x)$ на каждый член $Q (x)$ :

$1 \cdot x = x$
$1 \cdot 4 = 4$

Теперь все произведения складываем:

$3×3+12×2+2×2+8x+x+43x^3 + 12x^2 + 2x^2 + 8x + x + 4$

Шаг 3: Приведение подобных членов

После того как все произведения сложены, нужно привести подобные члены. Это те члены, которые имеют одинаковую степень $x$ .

В нашем случае:

$3×3+(12×2+2×2)+(8x+x)+43x^3 + (12x^2 + 2x^2) + (8x + x) + 4$

Складываем подобные члены:

$3×3+14×2+9x+43x^3 + 14x^2 + 9x + 4$

Ответ

Таким образом, результат произведения многочленов $P (x)$ и $Q (x)$ — это:

$3x^3 + 14x^2 + 9x + 4$

Шаг 4: Общее правило умножения многочленов

Если у вас есть два многочлена:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0$

$b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + dots + b_1 x + b_0$

то их произведение $P (x) \cdot Q (x)$ будет следующим:

Каждый член из $P (x)$ умножается на каждый член из $Q (x)$ .
Полученные произведения складываются.
Приводятся подобные члены.

Пример для более сложных многочленов

Давайте теперь рассмотрим более сложный пример, чтобы закрепить знания:

$2x^3 + 3x^2 + x + 5$

$Q(x) = x^2 + 4x + 3$

Умножаем каждый член из $P (x)$ на каждый из $Q (x)$ :

$2×3⋅x2=2x52x^3 cdot x^2 = 2x^5$
$2×3⋅4x=8x42x^3 cdot 4x = 8x^4$
$2×3⋅3=6x32x^3 cdot 3 = 6x^3$
$3×2⋅x2=3x43x^2 cdot x^2 = 3x^4$
$3×2⋅4x=12x33x^2 cdot 4x = 12x^3$
$3×2⋅3=9x23x^2 cdot 3 = 9x^2$
$x^2 = x^3$
$4x^2$
$x \cdot 3 = 3 x$
$x^2 = 5x^2$
$5 \cdot 4 x = 20 x$
$5 \cdot 3 = 15$

Теперь складываем все результаты:

$2×5+8×4+6×3+3×4+12×3+9×2+x3+4×2+3x+5×2+20x+152x^5 + 8x^4 + 6x^3 + 3x^4 + 12x^3 + 9x^2 + x^3 + 4x^2 + 3x + 5x^2 + 20x + 15$

Приводим подобные члены:

$2×5+(8×4+3×4)+(6×3+12×3+x3)+(9×2+4×2+5×2)+(3x+20x)+152x^5 + (8x^4 + 3x^4) + (6x^3 + 12x^3 + x^3) + (9x^2 + 4x^2 + 5x^2) + (3x + 20x) + 15$
$2×5+11×4+19×3+18×2+23x+152x^5 + 11x^4 + 19x^3 + 18x^2 + 23x + 15$

Ответ:

$2x^5 + 11x^4 + 19x^3 + 18x^2 + 23x + 15$

Заключение

Чтобы умножить два многочлена:

Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.
Все произведения складываются.
Приводятся подобные члены для получения итогового результата.

Эта техника работает для многочленов любой степени. Важно внимательно следить за знаками и правильно складывать члены с одинаковыми степенями.