как найти косинус угла между векторами

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, нужно использовать формулу для косинуса угла в терминах скалярного произведения векторов. Рассмотрим этот процесс более подробно.

1. Что такое косинус угла между векторами?

Если у нас есть два вектора $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$, то косинус угла $\theta$ между ними можно найти с помощью следующей формулы:

$$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}||\mathbf{B}|}$$

где:

• $\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}$ — это скалярное произведение векторов $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$,

• $|\mathbf{A}|$ и $|\mathbf{B}|$ — это модули (длины) векторов $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$, соответственно.

2. Что такое скалярное произведение?

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{A}=(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ и $\mathbf{B}=(B_1,B_2,\dots ,B_n)$ в $n$-мерном пространстве определяется как:

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=A_1{B}_1+A_2{B}_2+\cdots +A_n{B}_n$$

Если векторы заданы в трехмерном пространстве (например, $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$, $\mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3)$), то скалярное произведение будет:

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=A_1{B}_1+A_2{B}_2+A_3{B}_3$$

3. Что такое длина вектора?

Длина вектора $\mathbf{A}=(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ в $n$-мерном пространстве вычисляется по формуле:

$$|\mathbf{A}|=\sqrt{A_1^2+A_2^2+\cdots +A_n^2}$$

То есть это корень из суммы квадратов его компонент.

Для трехмерного пространства:

$$|\mathbf{A}|=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_3^2}$$

Аналогично для вектора $\mathbf{B}$:

$$|\mathbf{B}|=\sqrt{B_1^2+B_2^2+B_3^2}$$

4. Как найти косинус угла между векторами?

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами. Рассмотрим пример, где у нас есть два вектора в трехмерном пространстве:

$$\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3),\mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3)$$

1. Вычисляем скалярное произведение:

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=A_1{B}_1+A_2{B}_2+A_3{B}_3$$

2. Вычисляем длину каждого из векторов:

$$|\mathbf{A}|=\sqrt{A_1^2+A_2^2+A_3^2},|\mathbf{B}|=\sqrt{B_1^2+B_2^2+B_3^2}$$

3. Подставляем значения в формулу для косинуса угла:

$$\cos (\theta )=\frac{\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}||\mathbf{B}|}$$

Таким образом, косинус угла между векторами будет равен отношению скалярного произведения их компонент к произведению длин этих векторов.

5. Пример:

Возьмем два вектора:

$$\mathbf{A}=(1,2,3),\mathbf{B}=(4,-5,6)$$

1. Вычисляем скалярное произведение:

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=1\times 4+2\times (-5)+3\times 6=4-10+18=12$$

2. Вычисляем длины векторов:

$$|\mathbf{A}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$$
$$|\mathbf{B}|=\sqrt{4^2+(-5{)}^2+6^2}=\sqrt{16+25+36}=\sqrt{77}$$

3. Подставляем в формулу для косинуса угла:

$$\cos (\theta )=\frac{12}{\sqrt{14}\times \sqrt{77}}=\frac{12}{\sqrt{1078}}\approx \frac{12}{32.83}\approx 0.365$$

Итак, косинус угла между векторами $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ примерно равен 0.365.

6. Как интерпретировать результат?

Значение $\cos (\theta )$ всегда находится в интервале от -1 до 1. Это позволяет интерпретировать угол между векторами:

• Если $\cos (\theta )=1$, векторы направлены в одну сторону (угол 0°).

• Если $\cos (\theta )=-1$, векторы направлены в противоположные стороны (угол 180°).

• Если $\cos (\theta )=0$, векторы перпендикулярны (угол 90°).

В данном примере $\cos (\theta )\approx 0.365$, что означает, что угол между векторами острый, но не слишком маленький.

Заключение

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, нужно использовать формулу с скалярным произведением и длинами векторов. Процесс включает вычисление скалярного произведения и длин векторов, а затем подстановку этих значений в формулу для косинуса.