что такое тангенс и котангенс

Тангенс и котангенс — это тригонометрические функции, которые связывают углы с отношениями сторон в прямоугольном треугольнике, а также играют важную роль в математическом анализе, физике, инженерии и других науках. Давай рассмотрим их максимально подробно, с разных точек зрения: геометрической, аналитической, графической и практической.

📐 1. Геометрическое определение (в прямоугольном треугольнике)

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$:

• Тангенс (обозначается $\tan \alpha$) — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

  $$\tan \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$

• Котангенс (обозначается $\cot \alpha$) — это обратное отношение: прилежащий катет к противолежащему:

  $$\cot \alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$$

📌 Пример: если угол $\alpha =45^{\circ }$, и катеты равны, то

$$\tan 45^{\circ }=\frac{1}{1}=1,\cot 45^{\circ }=\frac{1}{1}=1$$

🧭 2. Определение на единичной окружности

На единичной окружности (радиус 1) точка, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$.

• $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$
• $$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

⚠️ Эти выражения не определены при делении на 0:

• $\tan \alpha$ не определён при $\cos \alpha =0$, то есть при $\alpha =90^{\circ }+180^{\circ }\cdot n$

• $\cot \alpha$ не определён при $\sin \alpha =0$, то есть при $\alpha =0^{\circ }+180^{\circ }\cdot n$

🧮 3. Связь с другими тригонометрическими функциями

Основные тригонометрические тождества:

• $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }$

• ${\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (выводится из ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha$)

• ${\cot }^2\alpha +1=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

📈 4. Графики

• График тангенса:

  • Функция не определена при $\alpha =\frac{\pi }{2}+\pi n$

  • Период: $\pi$

  • Возрастает на всём интервале определения

  • Проходит через начало координат

• График котангенса:

  • Не определён при $\alpha =\pi n$

  • Также периодичен с периодом $\pi$

  • Убывает на всём интервале определения

🔁 5. Периодичность

• $\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha$

• $\cot (\alpha +\pi )=\cot \alpha$

Обе функции периодические с периодом $\pi$, в отличие от синуса и косинуса, которые имеют период $2\pi$.

🧠 6. Применение

• Физика: векторные расчёты, угловая скорость, падение тел под углом.

• Геометрия и навигация: наклон склона, азимуты.

• Строительство: расчёт уклонов (например, крыш, дорог).

• Математика: аналитическая геометрия, производные, пределы.

• Компьютерная графика: преобразования координат.

📚 7. Историческая справка

• Слово «тангенс» происходит от лат. tangens — касающийся (так как эта функция первоначально определялась через длину отрезка касательной).

• «Котангенс» — от лат. complementi tangens — «тангенс дополнительного угла»:

  $$\cot \alpha =\tan (90^{\circ }-\alpha )$$

🧩 8. В таблице значений

🧠 9. В производных и интегралах

• $\frac{d}{dx}\tan x={\sec }^{2}x$

• $\frac{d}{dx}\cot x=-{\csc }^{2}x$

• $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

• $\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

Если хочешь, могу построить графики, привести практические задачи или объяснить, как это связано с комплексными числами.